一类生物数学模型的动力学研究.doc

一类生物数学模型的动力学研究 摘 要 生物数学模型设计生活中的方方面面，可以通过它，定量的定性的了解具体的事例，应用比较广的有人口模型，传染病模型，生态物种模型，企业模型等等。在这些模型中涉及了微分方程的定性理论。如几何分支法，李亚普诺夫方法等。可以分析不同情况下对应的状态。本文主要讨论了关于微分方程稳定性的一些问题。 ABSTRACT Mathematical biology model design in all aspects of life, through it, quantitative and quantative understanding of specific examples, the widespread application of population model, infectious disease model, ecological species model, business model and so on. In these models relates to the qualitative theory of differential equations. Such as geometry method, Lyapunov method. Can analyze the state corresponding to different situations. This paper mainly discusses some problems about the stability of the differential equation. 关 键 字 几何分支 李亚普诺夫函数 微分方程稳定性 1 引言 生物数学是在生物学的不同领域中应用数学工具对生命现象进行研究的学科。其一般方法是建立被研究对象的数学模型并对其进行定性和定量研究。 比较著名的生物模型方法有马尔萨斯人口模型，传染病模型，生态物种模型，企业模型等。用数学语言表现和描述真实世界某些现象、特征和状况。在建立生态数学模型时 ，人们越来越多地意识到空间因素的必要性．从生物学观点来看 ，每个生物个体都分布于空间中并与周围环境以及 附近的其他生物个体相互作用．研究生物数学模型有多种研究方法，平衡点理论，李亚普诺夫函数法，区域法，数值方法，纯数学方法等。 2生物数学研究背景 数学模型能定量地描述生命物质运动的过程，一个复杂的生物学问题借助数学模型能转变成一个数学问题，通过对数学模型的逻辑推理、求解和运算，就能够获得客观事物的有关结论，达到对生命现象进行研究的目的。 比如描述生物种群增长的费尔许尔斯特-珀尔方程，就能够比较正确的表示种群增长的规律；通过描述捕食与被捕食两个种群相克关系的洛特卡-沃尔泰拉方程，从理论上说明：农药的滥用，在毒杀害虫的同时也杀死了害虫的天敌，从而常常导致害虫更猖獗地发生等。马尔萨斯生物总数增长定律指出：在孤立的生物群体中，生物总数的变化率与生物总数成正比，其数学模型为 （1） 其中为常数. 方程（1）的解为 （2） 因此，遵循马尔萨斯生物总数增长定律得任何生物都是随时间按指数方式增长，在此意义下，马尔萨斯方程（1）又称指数增长模型。人作为特殊的生物总群，人口的增长也应满足马尔萨斯生物总数增长定律，此时的（1）式称为马尔萨斯人口方程。英国人口学家马尔萨斯根据百余年的人口统计资料，于1798年提出了人口指数增长模型。根据马尔萨斯人口方程预测的结果有可能会与实际数据相差较大。造成误差过大的主要原因是人口的增长率不是常数，它是随时间而变化的，很多试验和事实也证明是时变的。为此修改马尔萨斯人口方程为 (3) 其中为时变人口增长率，为定常参数。 求解微分方程（3），得其特解为（4） 人口增长的logistic模型 这里的为一个常数（内禀增长率），k0是一个常数，通常称为环境容纳量。 一种捕食与被捕食的关系的模型. 例如在海洋中生活的鬚鲸和南极虾之间的关系. 设南极虾的数量是x(t), 鲸的数量是y(t), 鬚鲸以南极虾为主食, 没有了南极虾, 鬚鲸的数量将指数式地下降: , 是常数. （5） 但有了南极虾x(t)时, 鬚鲸的数量的变化关系（1）要改为: , 是常数. (6) 而南极虾被鬚鲸捕食, 它的数量的变化服从以下关系: , . 是常数. (7) 我们同样可以通过研究方程组(6),(7)的轨道来讨论鬚鲸与南极虾数量的变化规律.