简明线性代数邓小成课后习题答案中国人民大学出版社.docx

PAGE 5 PAGE 4 习 题 1.1 1．设,,求. 解: ， . 2．已知两个线性变换 求从到的线性变换. 解: , 所求为 3．计算下列矩阵: （1）; 解: , , , …………, . （2）; 解: , , …………, . （3）. 解: , . 假设成立,则 . 因此. 4．设,求和. 解: ， . 5．求与可交换的所有矩阵. 解: 设矩阵与可交换,则有 , 即得 , 解得.因此 , 其中为任意数. 6．设,求. 解: 将矩阵写为,其中 . 对于矩阵有 ,,. 显然与可交换,所以 . 7．矩阵称为反对称的,若.证明任何方阵都可以表示为一个对称矩阵和一个反对称矩阵之和. 证明: 记，，则为对称阵,而为反对称阵,且有. 8．设为阶对称阵,证明为对称阵的充要条件是. 证明: 因为对称阵,所以,,于是 . 因此,的充要条件是.也就是说,为对称阵的充要条件是. 9．举反例说明下列命题是错误的: （1）若,则; （2）若,则或; （3）若,且,则. 解:（1）对于矩阵,有,但； （2）对于矩阵,有,但且； （3）对于矩阵,,,有,且,但. 习 题 1.2 1．求行列式中元素和的代数余子式. 解: 元素的代数余子式为,而元素的代数余子式为. 2．计算下列行列式: （1）; 解: . （2）. 解: . 3．已知四阶行列式中第三列元素依次为,它们的余子式依次分别为,求的值. 解: . 4．已知,求. 解: , . 5．已知三阶矩阵的行列式,,求. 解: . 6．设 ,, 且已知,试求. 解: 7．计算下列行列式: （1）; 解: . （2）; 解: . （3）; 解: . （4）. 解: . 8．解下列方程: （1）; 解: , 原方程的解为. （2）. 解: , 原方程的解为. 9．计算下列行列式: （1）; 解: 将第一行加于其余各行,得 原式. （2）; 解: 将前列都加于最后一列,得 原式 . （3）. 解一: 按第1列展开 . 解二: 作变换,得 , 其中.再按第1列展开,得 . 10．证明: （1）, 其中; 证明: 左边行列式的第列提取,得 . （2）; 证明: 将按最后一列展开,得 , ,.假设时,成立,则当时,有 . 由归纳原理即得所证. （3） . 证明: 作变换,,,得 . 习 题 1.3 1．已知,,求. 解: . 2．已知是三阶方阵,且,求,和. 解: , , . 3．求线性变换的逆变换. 解: 线性变换的系数矩阵,其伴随矩阵为 . 将按第1行展开,得 , 因此可逆,且有 . 所求逆变换为 4．利用逆矩阵求以下方程的解: （1）; 解: 记矩阵,其伴随矩阵 . 将按第1行展开,得 , 因此可逆,且有 . 所求解为 . （2）. 解: 记矩阵,其伴随矩阵 . 将按第1行展开,得 , 因此可逆,且有 . 所求解为 . 5．设,求. 解: . 6．已知,且,求. 解: 由,得 ,. 因,所以存在,于是 . 7．设,求伴随矩阵的逆矩阵. 解: . 8．设,其中,,求. 解: 容易求得.于是由得 ,,…, . 9．设,且,求. 解: 由,得. ,, , 因此可逆,且有 . 由,得 . 10．设,证明 . 证明: 由,得 , 因此 . 11．设方阵满足方程,证明可逆,并求其逆矩阵. 证明: 由,得 , 因此可逆,且有. 12．设为可逆矩阵,与同阶,且满足,证明和均为可逆矩阵. 证明: 因为可逆矩阵,所以.由,得 , 两边取行列式,得 ,(为与的阶数). 于是,,所以和均为可逆矩阵. 习 题 1.4 1．设,求和. 解: 令,,则,, ,, . 所以 , . 2．设,求. 解: 令,,则 ,,, ,,. 因此 . 3．设为阶可逆方阵,为阶方阵,为矩阵,为矩阵.计算 , 并由此证明 . 解: . 注意,上式两边取行列式即得 . 习 题 2.1 1．把下列矩阵化为行最简形矩阵: （1）; 解: . （2）. 解: . 2．用消元法解下列线性方程组: （1） 解: 对方程组的系数矩阵施行初等行变换: , 于是得同解方程组 令自由未知元,得原方程组的通解为 ,(为任意数). （2） 解: 对方程组的系数矩阵施行初等行变换: , 于是得同解方程组 令自由未知元,得原方程组的通解为 ,(为任意数). （3） 解: 对方程组的增广矩阵施行初等行变换: . 原方程组的解为 （4） 解: 对方程组的增广矩阵施行初等行变换: . 最后的增广矩阵对应的方程组中,第四个方程为,不可能.因此,原方程组无解. （5） 解: 对方程组的增广矩阵施行初等行变换: . 于是得同解方程组 令自由未知元,得原方程组的通解为 ,(为任意数). （6） 解: 对方程组的增广