弹性力学 第4章 广义胡克定律.ppt

*§4.4横观各向同性弹性（三）横观各向同性弹性常数测定（3）弹性常数的求解方法利用低碳钢扭转时的剪切胡克定律公式求解剪切模量，有，采用各向同性平面为水平的圆柱形试样进行扭转试验可求解，即式中是垂直于各向同性平面的剪切模量，是施加的扭矩，是试样的长度，是扭转角度，是极惯性矩，对于圆截面，，其中为直径。由此可以求解横观各向同性1个弹性常数。**§4.2各向同性弹性（一）拉梅常数若令常数、称为拉梅常数。通过坐标变换，可得任意坐标系下表达式：式中*（二）工程弹性常数工程中，各向同性材料常采用弹性模量和泊松比表示，即：式中，为剪切模量。§4.2各向同性弹性*（二）工程弹性常数根据上式，三个正应变相加得：式中，，，K为体积变形模量。至此，各向同性弹性材料可由以下三对参数表示：（、），（、），（，）§4.2各向同性弹性*（三）工程弹性常数关系证明考虑纯剪状态下弹性体受力与变形：纯剪状态下，弹性体应力张量与应变张量可表示为：根据广义胡克定律：式中，G为剪切模量。§4.2各向同性弹性*（三）工程弹性常数关系证明转换坐标系到主坐标系，根据广义胡克定律：对比式与式，不难得到：§4.2各向同性弹性*（四）常见材料弹性常数§4.2各向同性弹性*（五）弹性常数关系§4.2各向同性弹性*（六）示例试求体积弹性模量、拉压弹性模量、泊松比与弹性常数、μ之间的关系。解：在求解体积弹性模量K时，利用如图所示的三向均匀压缩状态，令为常数。由于，故得§4.2各向同性弹性*（六）示例可得另外，由K为体积弹性模量的定义，在三向均匀压缩时，有即所以σ=Kθ§4.2各向同性弹性*（六）示例在求拉压弹性模量、泊松比与、之间的关系时，利用如右图所示的单向拉伸圆截面杆，则可令:其中b、c为常数，则有将代入，得§4.2各向同性弹性*（六）示例由于是单向拉伸受力状态，则有则有将代入式中的中，得将式与进行比较可得§4.2各向同性弹性静水压缩实验体积模量（七）弹性常数的测定§4.2各向同性弹性单轴拉伸实验使用物理关系，有弹性模量和泊松比：相反，有（七）弹性常数的测定§4.2各向同性弹性纯剪实验使用物理方程，?xy=2G?xy，因此，G也是剪切模量。（七）弹性常数的测定§4.2各向同性弹性各向同性弹性本构关系用其他参数表示：正应力只产生正应变；剪应力只产生剪应变。每个应变等于各个应力单独作用时产生的应变之和。（七）弹性常数的测定§4.2各向同性弹性弹性常数的限制实验结果表明，E、G、K总为正值，有大多数材料为正值，而，有即材料弹性不可压缩，如橡胶。（七）弹性常数的测定§4.2各向同性弹性*§4.3弹性应变能函数在弹性体的变形过程中，外力（体积力和表面力）作功，转化为物体中储存的能量。假设物体的变形是绝热的，在时间内，一物体总能量的增加，等于外力所作的功。动能先看动能质量微元其速度在坐标轴上的投影为内能*在同一时间内，作用于弹性体上的外力所作的功为体力功面力功如物体表面的方向余弦为，则表面力为：§4.3弹性应变能函数*格林公式将上列面积分变换为体积分，得考虑物体运动时，平衡微分方程扩展为几何方程§4.3弹性应变能函数*能量表示物体的特性，是物体的状态的单值函数，所以必定是全微分，可写为§4.3弹性应变能函数称为应变能密度函数。*可以作为六个形变分量的函数，的全微分为应力和应变张量均能分解为球张量和偏张量,因此可将弹性应变能分解为两部分:§4.3弹性应变能函数*因此总应变能与坐标选择无关，也为一个不变量。由高等数学知识，对于一个多元函数