非线性约束优化.ppt

第一页，共二十页，2022年，8月28日 高等数学中所学的条件极值： 一、等式约束性问题的最优性条件： 考虑 min f(x) s.t. h(x)=0 问题: 在ф(x,y)=0的条件下, 求z=f(x,y)极值. min f(x,y) 。 s.t. ф(x,y)=0 引入Lagrange乘子：λ Lagrange函数 L(x,y;λ)= f(x,y)+ λф(x,y) 第二页，共二十页，2022年，8月28日 一、等式约束性问题的最优性条件： (续) 若(x*,y*)是条件极值，则存在λ* ，使 fx(x*,y*)+ λ* фx (x*,y*) =0 fy(x*,y*)+ λ* фy(x*,y*) =0 Ф (x*,y*)=0 推广到多元情况，可得到对于(fh)的情况： min f(x) s.t. hj(x)=0 j=1,2, …,l 若x*是(fh)的l.opt. ,　则存在?*∈ Rl使 　　以及　　 hj(x)=0， j=1,2, …,l 第三页，共二十页，2022年，8月28日 一、等式约束性问题的最优性条件： (续) 几何意义是明显的：考虑一个约束的情况： 最优性条件即： -▽f(ㄡ ) ㄡ ▽h(ㄡ ) h(x) －▽f(x*) ▽h(x*) 这里 x* ---l.opt. ▽f(x*)与 ▽h(x*) 共线，而ㄡ非l.opt. ▽f(ㄡ )与▽h(ㄡ )不共线。 第四页，共二十页，2022年，8月28日 一 等式约束下的拉格朗日乘子算法 考虑等式约束问题: 令拉格朗日函数: 则等式约束下规划问题转化成无约束问题: min L(X, ?) 该问题有极值点的必要条件为: 第五页，共二十页，2022年，8月28日 充分条件: 如果 且行列式方程: 所有根Zj0(j=1,2,…,n-l)，则X*为局部极小点；反 之所有Zj0，为局部极大点；有正有负非极值点 第六页，共二十页，2022年，8月28日 例题4-1用拉格朗日乘子算法求解: 解: 令 极大点的必要条件: 对于得到的三个根。 使用充分条件检验如下： 第七页，共二十页，2022年，8月28日 计算: 展开z的(n-l)=(2-1)=1次多项式方程，得 第八页，共二十页，2022年，8月28日 一个信息处理技术中重要的例子－求最优隶属度函数 １）背景介绍－聚类分析 ２）目标函数－符号说明 构造拉日函数： 最优化的一阶必要条件为 代回上式进入到约束条件： 得 所以 第九页，共二十页，2022年，8月28日 FCM的中心迭代过程 第十页，共二十页，2022年，8月28日 2)不等式约束问题的Khun-Tucker条件： 考虑问题 min f(x) s.t. gi(x) 　0 i=1,2, …,m 设 x*∈S={x|gi(x) 　0 i=1,2, …,m} , 并令 　I={i| gi(x*) =0， i=1,2, …,m} 称I为 x*点处的起作用集（紧约束集）。 如果x*是l.opt. ,对每一个约束函数来说，只有当它是起作用约束时，才产生影响，如： g2(x)=0 x* g1(x)=0 g1(x*)=0, g1为起作用约束， 约束集已知时回归到含等式优化问题 问题:　事先并不知道约束集＝？ 第十一页，共二十页，2022年，8月28日 定理（任意情况的最优性必要条件）：（K-T条件）