2013年成人高考专升本高数（二）模拟试题及答案.doc

一.选择题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内。 *1.函数在点不连续是因为（） A. B. C.不存在 D.不存在 答案：C 不存在。 2.设为连续函数，且，则下列命题正确的是（） A.为上的奇函数 B.为上的偶函数 C.可能为上的非奇非偶函数 D.必定为上的非奇非偶函数 *3.设有单位向量，它同时与及都垂直，则为（） A. B. C. D. 解析： ，应选C。 4.幂级数的收敛区间是（） A. B. C. D. *5.按照微分方程通解的定义，的通解是（） A. B. C. D. （其中是任意常数） 解析：，故选A。 二.填空题：本大题共10个小题，10个空，每空4分，共40分，把答案填在题中横线上。 6.设为连续函数，则___________。 *7.函数的单调递减区间是___________。 解析： 当时，，故y单调递减，故单调区间是（-2，1） 8.设是的一个原函数，则___________。 *9.设，则___________。 解析： *10.设，其中k为常数，则___________。 解析： 11.设，则___________。 *12.微分方程的通解为___________。 解析：方程改写为，两边积分得： 即 13.点到平面的距离___________。 *14.幂级数的收敛区间是___________（不含端点）。 解析：，收敛半径 由得：，故收敛区间是（-3，5） 15.方程的通解是______________________。 三.解答题：本大题共13个小题，共90分，第16题～25题每小题6分，第26题～第28题每小题10分，解答时应写出推理，演算步骤。 16.求极限。 *17.设，求。 解： 所以 *18.求函数在区间上的最大值与最小值。 解：函数在处不可导， 令得驻点，求得 于是y在上的最大值为，最小值为 19.求不定积分。 20.设由方程确定，求。 21.若区域D：，计算二重积分。 *22.求过三点A（0，1，0），B（1，-1，0），C（1，2，1）的平面方程。 平面方程为： ，即 *23.判定级数的收敛性。 解：因为是公比的等比级数从而收敛，再考察级数 其中满足①，② 由莱布尼兹判别法知收敛，级数收敛。（两收敛级数之和收敛） 24.求方程的一个特解。 *25.证明： 解： 又 由1、2得： 26.设为连续函数，且，求。 *27.设抛物线过原点（0，0）且当时，，试确定a、b、c的值。使得抛物线与直线，所围成图形的面积为，且使该图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积最小。 解：因抛物线过原点（0，0），有 依题意，如图所示阴影部分的面积为 该图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积为 令，得驻点： 由问题的几何意义可知，当，从而时，旋转体的体积最小，于是所求曲线为 *28.求幂级数的和函数，并由此求级数的和。 解：令，则且有 又 于是 【试题答案】 一. 1.C 不存在。 2.C正确 例：，则在上非奇非偶，但。 3. ，应选C。 4. 故收敛区间是（-1，1），故选B。 5.，故选A。 二. 6. 7. 当时，，故y单调递减，故单调区间是（-2，1） 8. 9. 10. 11. 12.方程改写为，两边积分得： 即 13.点到平面的距离公式为 所求 14.，收敛半径 由得：，故收敛区间是（-3，5） 15.特征方程为：，特征根为 通解为 三. 16.解： 17.解： 所以 18.解：函数在处不可导， 令得驻点，求得 于是y在上的最大值为，最小值为 19.解：令，，于是 20.解：令，则 于是， 21.解：D用极坐标表示为 22. 平面方程为： ，即 23.解：因为是公比的等比级数从而收敛，再考察级数 其中满足①，② 由莱布尼兹判别法知收敛，级数收敛。（两收敛级数之和收敛） 24.解：特征方程为，特征值 ，这里不是特征根，可设特解为： 代入原方程并整理得： 解得： 于是 25.解： 又 由1、2得： 26.解：令，则 即 于是 27.解：因抛物线过原点（0，0），有 依题意，如图所示阴影部分的面积为 该图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积为 令，得驻点： 由问题的几何意义可知，当，从而时，旋转体的体积最小，于是所求曲线为 28.解：令，则且有 又 于是