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任意角三角函数教案 （一）任意角的三角函数 1、当角为第一象限角时，则其终边与单位圆必有一个交点，过点作轴交轴于点，则请你观察: 根据三角函数的定义：； （发现三角函数值的绝对值与相应线段的长度相等） Oxya角的终边边PTM O x y a角的终边边 P T M A 3、你能借助单位圆，找到一条如、一样的线段来表示角的正切值吗？ 我们知道，直角坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关.当角的终边不在坐标轴时,以为始点、为终点，规定： 当线段与轴同向时，的方向为正向，且有正值；当线段与轴反向时，的方向为负向，且有正值；其中为点的横坐标.这样,无论那种情况都有 同理,当角的终边不在轴上时,以为始点、为终点，规定： 当线段与轴同向时，的方向为正向，且有正值；当线段与轴反向 时，的方向为负向，且有正值；其中为点的横坐标.这样,无论那种情况都有 4、像这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段（direct line segment）. 5、如何用有向线段来表示角的正切呢? 如上图,过点作单位圆的切线,这条切线必然平行于轴,设它与的终边交于点,请根据正切函数的定义与相似三角形的知识,借助有向线段,我们有 我们把这三条与单位圆有关的有向线段,分别叫做角的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线. 6.探究：（1）当角的终边在第二、第三、第四象限时，你能分别作出它们的正弦线、余弦线和正切线吗？ （2）当的终边与轴或轴重合时，又是怎样的情形呢？ 请根据任意角的三角函数定义,将正弦、余弦和正切函数的定义域填入下表；再将这三种函数的值在各个象限的符号填入表格中： 三角函数 定义域 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 角度制 弧度制 例题 1、已知角α的终边过点P（－1,2）,cosα的值为 （ ） A．－ B．－ eq \r(5) C． D． 2、α是第四象限角，则下列数值中一定是正值的是 （ ） A．sinα B．cosα C．tanα D．cotα 3、已知角α的终边过点P（4a,－3a）（a0）,则2sinα＋cos A． eq \f(2,5) B．－ eq \f(2,5) C．0 D．与a的取值有关 4、已知sinαtanα≥0，则α的取值集合为 ． 5、角α的终边上有一点P（m，5），且，则sinα+cosα=_____ （二）同角三角函数的基本关系 1、平方关系：. 2、商数关系： 这就是说,同一个角的正弦、余弦的平方等于1，商等于角的正切. 注意： OxyPM1A(1,0)1?是的缩写，读作“的平方”，不能将写成. O x y P M 1 A(1,0) 2? “同角”的概念与角的表达形式无关. 3?据此，由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另两个三角函数值，且因为利用“平方关系”公式，最终需求平方根，会出现两解，因此应尽可能少用（实际上，至多只要用一次）。 例题讲评 例1．已知sinα＝－，且α在第三象限，求cosα和tanα. 例2.化简： 例3．求证： 例4. 已知tanα＝－，求的值 学习小结 （1）同角三角函数的关系式的前提是“同角”. （2）利用平方关系时，往往要开方，因此要先根据角所在象限确定符号． （3）注意象限定符号和联系关系式. 灵活运用公式，注意平方关系，切化弦；化繁为简. 四、巩固练习 1．已知，则 为 2、求证： 3、求证：