数学非线性分析 非线性分析.doc
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数学非线性分析 非线性分析
§12金融数据中的非线性
在本书中,我们讨论的经济方法几乎都是设计查找金融数据中的线性结构。例如在第2章中,我们发展时间系列理论来预测资产收益,使用有利的资产自相关联合---线性预测理论是主要的观点。第4章的事件理论和第5章的CAPM和APT都是建立在期望收益的线性模型上。甚至在以后的章节中包括其他的经济变量如消费,红利和利率,这些模型依然是线性的。将重点放在线性上并不奇怪,因为许多从金融数据中得到的经济模型就是线性的。
然而,许多经济行为并不一定是线性的。实验证据和偶然的自省发现,被调查者对风险和期望收益的态度是非线性的。许多金融合同中的术语如期权和其他衍生证券是非线性的。市场参与者的战略相互影响,信息融入证券价格的过程,经济波动理论等都是自然的非线性,因此,非线性结构模型自然成为金融经济的前沿。
这是一个相当大的挑战,因为非线性模型的集合远大于线性模型的集合。毕竟任何不是线性的就是非线性。而且,非线性模型一般比线性的更难分析,很少能得到一个闭式(close form)表达式。能被轻松地操纵和以经验为主地执行,在一些例子中,唯一的分析模型是计算型的。这对习惯于解析、直观和线性思维的我们而言是相当不习惯的。但新一代的经济学家创造了新的模型和工具,来描绘经济现象中的非线性。其中一些是本章的重点。在动力学系统理论,非线性时间系列分析,随机波动模型,非参数统计和人工神经网络等方面的令人鼓舞的进步激起了人们最近对金融数据中的非线性的兴趣,我们在下面的章节中将逐个讨论。
§12.1中,我们将重温§2中提及的主题。但是从线性到非线性,我们介绍一种模型的分类法,区别线性(偏离鞅假设)和非线性违反独立原则而非鞅假设。
§12.2探讨了大量非线性模型,包括单变量和多变量的自回归有条件GARCH模型和随机波动率模型。
在§12.3和12.4我们跳出参数的时间系列模型,通过固定变量间的非线性关系来探讨非参数理论。包括光滑技术和人工神经网络。尽管这些技术可以揭示非线性的变化但他们严重地依赖数据和计算。为说明技术的功能。我们介绍一种衍生证券的定价和套期保值以及估计状态价格密度。
我们在§12.5讨论了这些技术的局限性。最重要的局限是一对孪生的问题,过拟合和数据窥察,这个问题虽然没同一程度,但也对线性模型产生麻
烦。很遗憾,我们对如何处理这些问题,除了一些特定的例子,几乎一无所知。因此,这是一个具有许多尚待解决问题的领域。
§12.1单变量的时间系列的非线性结构
一个典型的时间系列模型使得一个观测的时间系列Xt和一系列的挠动εt相关。在线性时间系列的分析中,挠动被假设为不相关的但不必要设定为IID。世界代表理论认为任何时间系列能写成一个这些挠动的无限阶的线性移动平均。 并且这个线性移动平均陈述总结了系列的无条件方差和自协方差。
在非线性时间系列解析中,这些基础的挠动项典型地设为IID,但我们找到一个可能的非线性函数,使系列X和历史的挠动项相关,基本表示如下: Xt=f(εt,εt?1,εt?2L) (12.1.1)
其中,挠动假设为均值为0或单位方差。f()一个未知函数。这种表示的一般性使得它很难处理。在实际应用中,大部分模型被更严格地限制。 Xt=g(εt?1,εt?2L)+εth(εt?1,εt?2L) (12.1.2)
Et?1(Xt)=g(εt?1,εt?2L),函数g()代表以过去信息为条件的Xt的均值,在Xt中的创新与εt是按比例的,比例系数为h()。由于Et?1(Xt?Et?1[Xt]2)=h(εt?1,εt?2L)2,因此,这个函数的平方代表以过去信息为条件的Xt的方差。非线性g()模型被称为为均值非线性,而非线性h()2模型被称为方差非线性。
为理解式(12.1.2)对(12.1.1)的约束,我们将(12.1.1)对给定的εt?1,εt?2L围绕εt=0泰勒展开,得
1Xt=f(0,εt?1,εt?2L)+εtf1(0,εt?1,εt?2L)+εt2f11(0,εt?1,εt?2L)+L (12.1.3) 2
其中f1是f对εt的一阶导数,f11是二阶导数,以此类推。为得到(12.1.2),我们将泰勒展开式中的高阶去掉,并令
g(εt?1,εt?2L)=f(0,εt?1,εt?2L), h(εt?1,εt?2L)=f1(0,εt?1,εt?2L)。 通过去掉高阶项,我们将Xt的条件高阶矩的时间方差固定地与Xt的条件二阶矩的时间方差联系起来,由于对所有指数P≥2,Et?1[(Xt?Et?1[Xt])p]=h()pE[εtp]。对那些主要关心Xt前两项条件矩的人认为这些约束作为(12.1
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