河南省2024−2025学年高一下学期4月联考 数学试题（含解析）.docx
河南省2024?2025学年高一下学期4月联考数学试题
一、单选题
1．设为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数a的值为（???）
A．1 B．6 C．5 D．1或5
2．若是平面内一组不共线的非零向量，则下列也可以作为一组基底向量的为（???）
①和????????????????②和
③和????????????????????④和
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
3．下列叙述正确的是（???）
A．有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台
B．底面是正多边形的棱锥是正棱锥
C．边长为2的水平放置的正方形的斜二测画法直观图的面积是
D．直角三角形以其边所在直线为轴旋转一周形成的几何体是圆锥
4．若m，n为空间中两条直线，，为平面，则下列说法正确的是（???）
A．若，，则
B．若，，则
C．，，，则
D．若m，n是异面直线，则m，n在内的射影为两条相交直线
5．已知向量，满足，，，则（???）
A． B． C． D．
6．正三棱台三侧棱的延长线交于点P，如果，三棱台的体积为，的面积为，那么侧棱与底面所成角的正切值为（???）
A． B． C． D．
7．如图，在直三棱柱中，点D，E分别在棱，上，，，点F满足，若平面ACF，则的值为（???）
??
A． B． C． D．
8．如图，长方体中，，E为棱CD的中点，则异面直线与之间的距离为（???）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列结论中错误的是（???）
A．若为非零向量，且，则
B．对于非零向量，，若，则存在唯一实数使得
C．在中，若，则与的面积之比为2∶9
D．已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是
10．正四面体的棱长为，若点Q是该正四面体外接球球面上的一个动点，则的值可能为（???）
A． B． C． D．
11．如图，正方体的棱长为4，F是的中点，点P为正方形内一动点（含边界），则下列说法正确的是（???）
A．四棱锥的体积为定值
B．当时，点P的轨迹长度为
C．当直线AP与平面所成的角为时，则点P的轨迹长度为
D．若直线平面，则点P的轨迹长度为
三、填空题
12．已知是关于x的方程的一个根，则．
13．已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为.
14．如图，几何体是四棱锥，为正三角形，，，M为线段AE的中点．则直线MD与平面EBC的位置关系为（填相交或平行）．N为线段EB上一点，使得D，M，N，C四点共面，则的值为．
四、解答题
15．已知复数，．
（1）若，求；
（2）在复平面内，复数，对应的向量分别是，，其中O是坐标原点，求的大小．
16．记的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
（1）求B；
（2）若，，求的面积．
17．如图，在中，点M，N满足，（，），点D满足，E为AD的中点，且M，N，E三点共线．
??
（1）用，表示；
（2）求的值．
18．如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，，，M为PA的中点，N为PC的中点，E为PD的中点，．
（1）求证：平面BMN；
（2）求三棱锥的体积．
19．离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为，其中为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面，平面，…，平面和平面为多面体M的所有以P为公共点的面．已知三棱锥如图所示．
（1）求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和；
（2）若平面ABC，，，三棱锥在顶点C处的离散曲率为，求点A到平面PBC的距离；
（3）在（2）的前提下，又知点Q在棱PB上，直线CQ与平面ABC所成角的余弦值为，求BQ的长度．
参考答案
1．【答案】C
【详解】由复数是纯虚数，则，解得：.
故选C.
2．【答案】B
【详解】对于①中，由和，可得，
所以和是共线向量，不能作为一组基底向量；
对于②中，设，可得，方程组无解，
所以和不共线，可以作为一组基底向量；
对于③中，设，可得，方程组无解，
所以和不共线，可以作为一组基底向量；
对于④中，设，可得，解得
所以和是共线向量，不能作为一组基底向量.
故选B.
3．【答案】C
【详解】对于A，棱台的所有侧棱延长线交于一点，而有两个面平行且相似，
其他各个面都是梯形的多面体中，这些梯形的腰的延长线不一定交于一点，A错误；
对于B，底面是正多边形的棱锥顶点在底面上的射影不一定是正多边形中心，B错误；
对于C，由水平放置的平面图形直观图面积是原面积的，
得边长为2的水平放置的正方形的斜二测画法直观图的面积是，C正确；
对于D，以直角三角形斜边所在直线为轴旋转一周形成的几何体是两个共底面的圆锥构成的组合体，D错误.
故选C
4．【答案】C
【