福建省福州市联盟学校2024学年高一下学期期末联考 数学试题（含解析）.docx
福建省福州市联盟学校2024学年高一下学期期末联考数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知复数满足，则（????）
A． B． C． D．
2．已知，，为三个不同的平面，，为两条不同的直线，则下列结论正确的是（????）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
3．若数据,,…,的平均数是4，方差是4，数据,,…,的平均数是，标准差是，则下列结论正确的是（????）
A．， B．，
C．， D．，
4．已知的内角，，的对边分别为，，，，，下面使得有两组解的的值可以为（????）
A．3 B． C．2 D．
5．某人射击5枪，命中3枪，3枪中恰有2枪连中的概率为（????）
A． B． C． D．
6．已知轴截面为正方形的圆柱，为下底面直径，是弧的中点，则与所成的角为（????）
A． B． C． D．
7．我国许多地方都有风格迥异的古塔.现在在某塔底共线三点，，处分别测得塔顶点的仰角为，，，且，设该塔高为，示意图如图.则该塔高（????）m.
A．60 B．30 C． D．
8．已知非零向量，，在同一平面，其中是单位向量.与的夹角为，，则的最小值是（????）
A．2 B．1 C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．若复数满足，则（????）
A．为纯虚数 B．
C． D．
10．连掷一枚均匀骰子两次，所得向上的点数分别为a，b，记，下列说法错误的是（????）
A．事件“”的概率为 B．事件“m是奇数”与“”为互斥事件
C．事件“”的概率为 D．事件“m为偶数”与“”互为独立事件
11．已知四面体的各个面均为全等的等腰三角形，且.设E为空间内任一点，且A，B，C，D，E五点在同一个球面上，则（????）
A．四面体的表面积为
B．四面体的体积为
C．当时，点E的轨迹长度为
D．当三棱锥的体积为时，点的轨迹长度为
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知平面向量，，，若，则.
13．已知是关于的方程（其中p、q为实数）的一个根，则的值为.
14．已知，，，是表面积为的球体表面上四点，若，，，且三棱锥的体积为，则线段长度的最大值为.
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知复数为虚数单位，其中是实数.
(1)若是实数，求的值；
(2)若复数在复平面内对应的点在第二象限，求的取值范围.
16．为了调查疫情期间数学网课学习情况，某校组织了高一年级学生进行了数学测试.根据测试成绩（总分100分），将所得数据按照，，，，，分成6组，其频率分布直方图如图所示.
(1)求图中的值；为了更全面地了解疫情对网课的影响，求该样本的60百分位数；
(2)试估计本次数学测试成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.
17．目前低碳的生活理念流行，越来越多的年轻人加入自行车骑游行列.某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过小时免费，超过小时的部分每小时收费元（不足一小时的部分按一小时计算）.有甲、乙两人分别来该租车点租车骑游（各租一车一次），设甲、乙不超过小时还车的概率分别为，；1小时以上且不超过2小时还车的概率分别为，；两人租车时间互不影响且都不会超过3小时.
(1)求甲、乙两人租车时间超过2小时，且不超过3小时的概率；
(2)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率；
(3)求甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率.
18．在中，角，所对的边分别为，.
(1)求；
(2)若的面积为，内角的角平分线交边于，，求的长；
(3)若，边上的中线，设点为的外接圆圆心，求的值.
19．如图，在四棱台中，平面，底面为平行四边形，，且分别为线段的中点.
(1)证明：；
(2)证明：平面平面；
(3)若，当与平面所成的角最大时，求四棱台的体积.
参考答案
1．【答案】A
【分析】根据复数的运算可得，再根据共轭复数的概念分析判断.
【详解】因为，则，
所以.
故选A.
2．【答案】D
【分析】由空间中的线面位置关系，对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】对于A：若，，则可能平行，可能相交，可能异面，故A错误；
对于B：若，，则，故B错误；
对于C：若，，则可能平行，可能相交，故C错误；
对于D：若，，由线面垂直的性质定理可得，故D正确.
故选D.
3．【答案】D
【分析】由数据,,…,的平均数是4，方差是4，数据,,…,的平均数是，方差，代入计算可得平均数，方差的值，开方求出标准差，可得答案.
【详解】因为数据,,…,的平均数是4，方差是4，
即，，
数据,,…,的平均数
，
数据,,…,的方差
，
所以标准差是.
故选D.
4．【答案】B
【分析】由正弦定理可得，由，且，即可得到答案.
【详解】由题意，根据正弦定理有，所以，
要使有两组解，则，且，即，
即，即，
所