初中数学专题瓜豆原理之圆弧轨迹型（几何最值模型）原卷版+解析版.docx
专题06瓜豆原理之圆弧轨迹型（几何最值模型）
专题目录
专题目录
TOC\o1-3\h\z\u模型解读 1
常见类型讲解 2
真题演练 4
巩固练习 5
压轴真题强化 6
模型解读
模型解读
“种瓜得瓜，种豆得豆”，这句古语在数学中找到了共鸣。数学中的“瓜豆”主要指的是初中数学中常考的动点轨迹问题。这类问题基本上可以分为两大类：一类是动点在直线（或线段、射线）上的运动，另一类是动点在圆弧上的运动。在解题过程中，如果遇到两个或以上的动点，且其中一个动点在直线（或线段、射线）上移动，那么另一个动点所求的轨迹也往往是直线（或线段、射线）；同样，若一个动点在圆弧上移动，那么另一个动点也将在圆弧上移动，并且两者所经过的弧度保持一致。这类问题仿佛是在遵循一种自然的规律，就如同在播种与收获的过程中，我们在一条轨道上播下“瓜”的种子，便会在另一条轨道上收获“豆”的果实。因此，我们将这类问题统称为“瓜豆原理”。本章我们将讨论“瓜豆原理”中的圆弧轨迹型类问题。
常见类型讲解
常见类型讲解
1、如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．Q点轨迹是？
如图，连接AO，取AO中点M，任意时刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2．
则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。
2、如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=kAQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？
如图，连结AO，作AM⊥AO，AO:AM=k:1；任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为k。
则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。
3、定义型：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧。（常见于动态翻折中）
如图，若P为动点，但AB=AC=AP，则B、C、P三点共圆，
则动点P是以A圆心，AB半径的圆或圆弧。
4、定边对定角（或直角）模型
1）一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧．
如图，若P为动点，AB为定值，∠APB=90°，则动点P是以AB为直径的圆或圆弧。
2）一条定边所对的角始终为定角，则定角顶点轨迹是圆弧．
如图，若P为动点，AB为定值，∠APB为定值，则动点P的轨迹为圆弧。
真题演练
真题演练
（2023·山东泰安·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，的一条直角边在x轴上，点A的坐标为；中，，连接，点M是中点，连接．将以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段的最小值是（????）
??
A．3 B． C． D．2
来源微信公众号：明悉数学（2021·四川成都·中考真题）在中，，将绕点B顺时针旋转得到，其中点A，C的对应点分别为点，．
来源微信公众号：明悉数学
（1）如图1，当点落在的延长线上时，求的长；
（2）如图2，当点落在的延长线上时，连接，交于点M，求的长；
（3）如图3，连接，直线交于点D，点E为的中点，连接．在旋转过程中，是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由．
（2021·江苏连云港·中考真题）在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动.
（1）△ABC是边长为3的等边三角形，E是边AC上的一点，且AE=1，小亮以BE为边作等边三角形BEF，如图1，求CF的长；
（2）△ABC是边长为3的等边三角形，E是边AC上的一个动点，小亮以BE为边作等边三角形BEF，如图2，在点E从点C到点A的运动过程中，求点F所经过的路径长；
（3）△ABC是边长为3的等边三角形，M是高CD上的一个动点，小亮以BM为边作等边三角形BMN，如图3，在点M从点C到点D的运动过程中，求点N所经过的路径长；
（4）正方形ABCD的边长为3，E是边CB上的一个动点，在点E从点C到点B的运动过程中，小亮以B为顶点作正方形BFGH，其中点F、G都在直线AE上，如图4，当点E到达点B时，点F、G、H与点B重合.则点H所经过的路径长为________，点G所经过的路径长为________.
巩固练习
巩固练习
1、如图，A是上任意一点，点C在外，已知是等边三角形，则的面积的最大值为（）
A． B．4 C． D．6
2、如图，在矩形中，，，P为的中点，连接．在矩形外部找一点E，使得，则线段的最大值为．
3、已知如图，是腰长为4的等腰直角三角形，，以A为圆心，2为半径作半圆A，交所在直线于点M，N．点E是半圆A上任意一点．连接，把绕点B顺时针旋转90°到的位置，连接，．
(1)求证：；
(2)当与半圆A相切时，求弧的长；(3)直接写出面积的最大值．
压轴真题强化
压轴真题强化
一、单选题
1．（2023·湖北鄂州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，为原点，，点