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高考与数列中的创新试题

真题展示

【例】（1）（2022·新高考Ⅱ卷3题）图①是中国古代建筑中的举架结构，AA，BB，CC，DD是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举.图②是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中DD1，CC1，BB1，AA1是举，OD1，DC1，CB1，BA1是相等的步，相邻桁的举步之比分别为DD1OD1＝0.5，CC1DC1＝k1，BB1CB1＝k2，AA1BA1＝k3.已知k1，

A.0.75 B.0.8

C.0.85 D.0.9

（2）（2020·全国Ⅱ卷12题）0－1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列a1a2…an…满足ai∈{0，1}（i＝1，2，…），且存在正整数m，使得ai＋m＝ai（i＝1，2，…）成立，则称其为0－1周期序列，并称满足ai＋m＝ai（i＝1，2，…）的最小正整数m为这个序列的周期.对于周期为m的0－1序列a1a2…an…，C（k）＝1m∑i=1maiai＋k（k＝1，2，…，m－1）是描述其性质的重要指标.下列周期为5的0－1序列中，满足C（k）≤15（k＝1，2，3，

A.11010… B.11011…

C.10001… D.11001…

答案：（1）D（2）C

解析：（1）法一如图，连接OA，延长AA1与x轴交于点A2，则OA2＝4OD1.因为k1，k2，k3成公差为0.1的等差数列，所以k1＝k3－0.2，k2＝k3－0.1，所以CC1＝DC1·（k3－0.2），BB1＝CB1（k3－0.1），AA1＝k3BA1，即CC1＝OD1（k3－0.2），BB1＝OD1（k3－0.1），AA1＝k3OD1.又DD1OD1＝0.5，所以DD1＝0.5OD1，所以AA2＝0.5OD1＋OD1（k3－0.2）＋OD1（k3－0.1）＋k3OD1＝OD1（3k3＋0.2），所以tan∠AOA2＝AA2OA2＝OD

法二设OD1＝DC1＝CB1＝BA1＝1，则DD1＝0.5，CC1＝k1，BB1＝k2，AA1＝k3.由题意，得k3＝k1＋0.2，k3＝k2＋0.1，且DD1＋CC1＋BB1＋AA1O

（2）周期为5的0－1序列中，C（k）＝15∑i=15aiai＋k（k＝1，2，3，4）.验证C（1）＝15（a1a2＋a2a3＋a3a4＋a4a5＋a5a6）＝15（a1a2＋a2a3＋a3a4＋a4a5＋a5a1）≤15.对于A，C（1）＝15（1＋0＋0＋0＋0）＝15，满足C（1）≤15.对于B，C（1）＝15（1＋0＋0＋1＋1）＝35＞15，不满足，故排除B.对于C，C（1）＝15（0＋0＋0＋0＋1）＝15，满足C（1）≤15.对于D，C（1）＝15（1＋0＋0＋0＋1）＝25＞15，不满足，故排除D.再对A，C验证C（2）＝15（a1a3＋a2a4＋a3a5＋a4a6＋a5a7）＝15（a1a3＋a2a4＋a3a5＋a4a1＋a5a2）≤15.对于A，C（2）＝15（0＋1＋0＋1＋0）＝25＞15，不满足，故排除A.对于C，C（2）

真题溯源与考法探究

1.（教材原题）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯.”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有盏灯.

2.（教材阅读与思考）如果1对兔子每月能生1对小兔子（一雄一雌），而每1对小兔子在它出生后的第3个月里，又能生1对小兔子，假定在不发生死亡的情况下，由1对初生的小兔子开始，50个月后会有多少对兔子？如果用Fn表示第n个月的兔子的总对数，可以看出，Fn＝Fn－1＋Fn－2（n＞2）.这是一个由递推公式给出的数列，称为斐波那契数列.

由高考真题与教材原题可以看出，随着高考改革的不断深入，高考也由单纯的知识考查转变为能力、素养的全面考查，数列中的创新试题因其情境设置新颖，考查角度灵活等特点，不仅体现了新课程标准的考查要求，更突出了对学生数学思维、探索能力的考查，对于全面促进“教—考—学”的改革起到了关键作用.

数列创新试题的常见类型

类型1数列中的数学文化试题

1.数学文化中的递推数列问题

【例1】九连环是我国古代流传至今的一种益智游戏，它由九个铁丝圆环相连成串，按一定规则移动圆环，移动圆环的次数决定解开圆环的个数.在某种玩法中，推广到m连环，用an表示解下n（n≤m）个圆环所需的最少移动次数，若数列{an}满足：a1＝1，且an＝2an－1－1，n为偶数，2an－1+2，n为奇数，

答案：2n－1－1

解析：因为n为偶数，当n≥4时，an＝2an－1－1＝2（2an－2＋2）－1＝4an－2＋3，即an＋1＝4（an－2＋1），又a2＝2a1－1＝2－