黑龙江省哈尔滨市第六中学校2024-2025学年高三下学期第四次模拟考试数学试卷（解析）.docx
哈尔滨市第六中学校2022级高三第四次模拟考试
数学试题
（时间120分钟，满分150分）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由集合的交集运算求解即可.
【详解】集合，由题意，
则.
故答案为：D
2.设复数满足，那么（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数及其模长的运算公式直接计算即可.
【详解】设，则，
即，
所以，
即，解得，
即，
故选：B.
3.对两组数据进行统计后得到如图所示的散点图，下列结论不正确的是（）
A.图1、图2两组数据都具有线性相关关系
B.图1数据正相关，图2数据负相关
C图1相关系数小于图2相关系数
D.图1相关系数和图2相关系数之和小于0
【答案】C
【解析】
【分析】根据散点图及正负相关性判断A，B，再根据相关系数性质判断C，D.
【详解】因为散点图都呈直线型，所以图1，图2两组数据都具有线性相关关系，故A正确；
图1散点从左至右呈上升趋势，所以数据正相关，图2散点从左至右呈下降趋势，所以数据负相关，故B正确；
图1正相关，图2负相关，所以，故C不正确；
因为图2相关程度更强，所以，故D正确.
故选：C.
4.已知，则“”是“是奇函数”的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，分别验证充分性以及必要性，即可得到结果.
【详解】若，则，
所以，
则，即，
当为奇数时，，为奇函数，
当为偶数时，，为奇函数，
故充分性满足；
若是奇函数，则，即，
即，故必要性也满足；
所以“”是“是奇函数”的充要条件.
故选：C
5.函数的零点的个数为（）
A. B.
C. D.无法确定，与的取值有关
【答案】A
【解析】
【分析】根据条件，利用指数函数的图象与性质，即可求解.
【详解】因为时，由指数函数的图象与性质知，
当时，，，所以，
当时，，，所以，
又当时，，所以函数只有一个零点，
故选：A.
6.已知圆柱的底面半径为，圆台的上、下底面半径分别为，若圆柱和圆台的高和体积都相等，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据圆台和圆柱的体积公式，得出，做差可判断，再结合基本不等式，可得.即可得到答案.
【详解】不妨设圆柱和圆台的高为，由体积公式可知，即；
.
圆台中，故，即，，选项A错误，选项B正确.
由基本不等式，结合，得，平方后得到，选项CD错误.
故选：B
7.设.为抛物线的焦点，的准线与轴交于一点，过的直线与交于、两点.若的面积是的面积的3倍，且，则（）
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】A
【解析】
【分析】根据题给条件设出直线方程和，又因为的面积是的面积的3倍，可得.联立直线与抛物线方程根据韦达定理可得的值，再根据抛物线定义即可求出的值，即可求得.
【详解】
由题意不妨设分别在第一、四象限，，其中.
由题意，直线斜率存在且不为，所以设直线的方程为，易知.
联立直线与抛物线方程，得，则.
因为，则，即.
所以，
得则，且.
，得，则.
故选：A.
8.设等差数列的前项和为，已知，，则下列选项正确的是（）
A.， B.，
C.， D.，
【答案】D
【解析】
【分析】根据立方和公式与立方差公式化简，结合等差数列求和公式可得解.
【详解】由已知，，
则，
即，
即，
又恒成立，
所以，即，；
又由，，
可知，
即，
又恒成立，
所以，即，
故选：D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分.
9.已知向量与满足，且，则下列说法正确的是（）
A.向量与的夹角为
B.
C.向量与向量垂直
D.若向量与向量共线，则
【答案】BD
【解析】
【分析】根据条件得，对于A，利用向量的夹角公式，即可求解；对于B，利用模长的计算公式，即可求解；对于C，利用向量的垂直表示，计算，即可求解；对于D，利用向量共线定理得，从而有，即可求解.
【详解】因为，，，则，得到，
对于A，，又，所以，故A错误，
对于B，因为，则，所以B正确，
对于C，因为，所以向量与向量不垂直，故C错误，
对于D，若向量与向量共线，则存在实数，使，
所以，解得，所以D正确，
故选：BD.
10.已知为坐标原点，双曲线的左顶点为，右焦点为，以为直径的圆与轴正半轴交于点，过且垂直于轴的直线与的某条渐近线交于点，且与轴垂直，双曲线的