2025年日本数学奥林匹克（JMO）模拟试卷：代数方程与几何变换竞赛技巧与解析.docx

2025年日本数学奥林匹克（JMO）模拟试卷：代数方程与几何变换竞赛技巧与解析

一、选择题（共10题，每题3分，共30分）

1.设函数$f(x)=x^3-3x+2$，则$f(x)$的零点个数是（）

A.1B.2C.3D.无法确定

2.已知等差数列$\{a_n\}$的公差$d=2$，且$a_1=3$，则$a_{10}=（）$

A.17B.19C.21D.23

3.在$\triangleABC$中，若$AB=AC=4$，$\angleBAC=60^\circ$，则$\triangleABC$的面积是（）

A.$4\sqrt{3}$B.$8\sqrt{3}$C.$16\sqrt{3}$D.$32\sqrt{3}$

4.设$a,b,c$为等比数列的前三项，若$a+b+c=6$，$ab+bc+ac=12$，则$a^3+b^3+c^3=（）$

A.27B.36C.48D.54

5.在直角坐标系中，点$A(2,3)$关于直线$y=x$的对称点$B$的坐标是（）

A.$(3,2)$B.$(2,3)$C.$(3,3)$D.$(2,2)$

6.若$\log_2(3x-2)=3\log_2(2-x)$，则$x$的取值范围是（）

A.$1x2$B.$2x3$C.$3x4$D.$4x5$

7.设$a,b$是方程$x^2-2x+a=0$的两个实数根，则$ab$的取值范围是（）

A.$[0,1]$B.$[1,2]$C.$[2,3]$D.$[3,4]$

8.已知函数$f(x)=x^2-2x+1$，则$f(-x)+f(x)=（）$

A.2B.4C.6D.8

9.在$\triangleABC$中，若$AB=AC=5$，$BC=7$，则$\sinB$的取值范围是（）

A.$(0,\frac{\sqrt{3}}{2})$B.$(\frac{\sqrt{3}}{2},1)$C.$(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$D.$(1,\frac{2\sqrt{3}}{3})$

10.若方程$ax^2+bx+c=0$的两根为$m$和$n$，则$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{b}{c}$的充分必要条件是（）

A.$a\neq0$B.$b^2-4ac\geq0$C.$b^2-4ac=0$D.$b^2-4ac\leq0$

二、填空题（共10题，每题4分，共40分）

1.若方程$3x^2-2x-1=0$的两根分别为$m$和$n$，则$m+n=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_