53　第五章　第3课时　平面向量的数量积及其应用.docx

第3课时平面向量的数量积及其应用

[考试要求]1．理解平面向量的数量积的含义及其物理意义．2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系．3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量的数量积的运算．4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．5．会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题．

考点一平面向量的数量积的运算

1．向量的夹角

已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角，向量夹角的范围是[0，π]．

当θ＝π2时，a与b相互垂直，记作a⊥b

当θ＝0时，a与b共线且同向；

当θ＝π时，a与b共线且反向．

2．平面向量的数量积

定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ．

规定：0·a＝0．

[常用结论]

(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2．

(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2．

[典例1](1)(2025·八省联考)已知向量a＝(0，1)，b＝(1，0)，则a·(a－b)＝()

A．2 B．1

C．0 D．－1

(2)(2023·全国乙卷)正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则EC·ED＝(

A．5 B．3

C．25 D．5

(3)(2024·辽阳期中)中国古代的花窗花板，既雕工精美，又具有丰富的文化内涵．如图，这是某花窗的平面图(扇形AOB截去扇形COD剩余的部分)，已知OA＝7，OC＝3，∠AOB＝120°，则AC·BD＝(

A．－83 B．－8

C．8 D．83

(1)B(2)B(3)B[(1)由题意知，a－b＝(－1，1)，所以a·(a－b)＝(0，1)·(－1，1)＝1．故选B．

(2)法一：由题意知，EC＝EB+BC＝12AB+AD，ED＝EA+AD＝－12AB+AD，所以EC·ED＝12AB+AD·-12AB+AD＝|AD|2－

法二：以点A为坐标原点，AB，AD的方向分别为x，y轴的正方向建立平面直角坐标系(图略)，则E(1，0)，C(2，2)，D(0，2)，则EC＝(1，2)，ED＝(－1，

所以EC·ED＝－1＋4＝3，故选

(3)根据题意，可得〈AC，BD〉＝∠AOB＝

因为OA＝7，OC＝3，所以|AC|＝7－3＝4，同理|BD|＝4，

因此，AC·BD＝|AC|·|BD|cos120°＝4×4×-12＝－8．

反思领悟数量积a·b＝|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2(其中两向量夹角为θ，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．解题时一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补．

巩固迁移1(1)(2024·乌兰浩特市期末)如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，点E为BC的中点，点F在边CD上，若AF·AB＝3，则AE·AF

A．9 B．10

C．11 D．12

(2)(2024·曲靖期末)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＝π3，b＝2，c＝1，则CA·AB＝

A．－3 B．3

C．－1 D．1

(1)C(2)C[(1)在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，点E为BC的中点，

以A为坐标原点，AB，AD所在的直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，

所以A(0，0)，B(2，0)，E(2，2)，设F(m，4)(0≤m≤2)，

所以AF＝(m，4)，AB＝(2，0)，

所以AF·AB＝2m＝3，解得m＝

所以AE·AF＝(2，2)·32，

故选C．

(2)由题意，A＝π3，b＝2，c＝1

则CA·AB＝|CA|·|AB|cos(π－A)＝－bccosA＝－2×1×12

故选C．]

考点二投影向量

平面向量的数量积的几何意义

设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，AB＝a，CD＝b，过AB的起点A和终点B，分别作CD所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到A1B1，我们称上述变换为向量a向向量b投影，A1B1叫做向量a在向量b上的投影向量，记为|a

提醒：(1)设a，b是非零向量，它们的夹角为θ，则a在b上的投影向量为|a|cosθbb＝a

(2)|a|cosθ是a在b方向上的投影的数量，所以a·b＝|b||a|cosθ是|b|与a在b方向上的投影的数量的乘积．

[典例2](1)(2024·泉州检测)已知非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则a＋b在a方向上的投影向量为()

A．a B．b

C．2a D．2b

(2)(2024·榆林期末