《反证法》教学案1.doc

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2.2.2反证法

学习目标：

理解反证法的概念,掌握反证法证题的步骤

学习重点难点：

反证法的概念及应用

反证法合理性的理解以及用反证法证明具体问题

自主学习：

一：知识再现

1.直接证明的定义:从命题的条件或结论出发,根据已知的定义,公理,定理直接推证结论的真实性.

2.命题的四种形式:原命题,逆命题,否命题,逆否命题.原命题与逆否命题同真假

二：新课探究

间接证明定义:间接证明不是从正面论证命题的真实性,而是考虑证明它的等价命题,或是证明命题的否定不成立,一间接地目的达到证题的目的.

反证法:一般地,假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明了原命题成立.

反证法的步骤:

反设:假设所要证明的结论不成立,假设结论的反而成立.

找矛盾:由“反设”出发,通过正确地推理,导出矛盾与已知条件已知公理,定义,定理,反设及明显的事实矛盾或自相矛盾.

结论:结论的反面不正确,肯定结论成立

反证法适宜什么样的证明题

直接证明较困难，可考虑使用反证法

②命题的结论部分含有“不可能、唯一、至少、至多”等特殊词语，可考虑使用反证法。

三.例题解析

例1.已知x、y、z是整数，且x2+y2=z2求证：x、y、z不可能都是奇数。证明：设x、y、z都是奇数，则x2、y2、z2都是奇数

∴x2+y2为偶数∴x2+y2≠z2这与已知矛盾

∴x、y、z不可能都是奇数。例2.若三个方程x2+4mx-4m+3=0；x2+(m-1)x+m2=0；x2+2mx-2m=0

至少有一个方程有实数根，求实数m的取值范围。

解：当三个方程都没有实根时，有

即：

得：

∴-3/2m-1∴上述三个方程至少有一个方程有实根的m的范围应为：

m≥-1或m≤-3/2.例3若,且,

求证:或中至少有一个成立.

证明(用反证法证明)

假设和都不成立,则有和同时成立.

因为且,所以且.

两式相加得,

所以,这与已知条件矛盾,

因此,或中至少有一个成立.

课堂巩固

1、结论“至多有两个解”的否定形式是___________。

A、没有解B、没有解或至少有三个解

C、至少有三个解D、至少有两个解

2、用反证法证明“设a、b、c∈Z，且ax2+bx+c=0有有理根，

求证：a、b、c中至少有一个是偶数”，其反设应是_______。

3、用反证法证明：“在△ABC中，若∠C是直角，则∠B一定是

锐角”。有一个同学的证明如下，你认为是否正确。

证明：假设∠B是直角，因为∠C是直角，所以∠B+∠C=180o

所以∠A+∠B+∠C180o，这与三角形内角和定理矛盾，

所以∠B一定是锐角。

4、已知a、b∈R，若a+b1，求证：a、b之中至少有一个不小于1/2.

归纳反思:

合作探究:

已知函数(a1).

(1)证明:函数在上为增函数.

(2)用反证法证明方程没有负数根.

2.设函数对定义域内任意实数都有,且成立.

求证:对定义域内任意x都有.

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