计算机数学课件第六章.ppt
第6章定积分;难点
变上限函数
换元积分法
分部积分法
定积分应用
要求
正确理解
定积分概念;熟练掌握
换元积分法
分部积分法
正确应用
牛顿莱布尼兹公式计算定积分
计算广积积分
求曲线的弧长;6.1定积分定义;
即
并称为被积函数，称为被
积表达式，x称作积分变量，[a，b]称作积
分区间，a为积分下限，b为积分上限。
;6.2定积分的根本性质;5〕如果函数在区间[a，b]上连续，那么在
[a，b]内至少有一点，使得下式成立：
6.3微积分根本定理
定义2我们称为变上限函数。这
是因为当上限x在区间[a，b]上任意变动时，对
于x的每一个相应的定积分就由一个确定的值与
之对应，根据函数的定义，这个定积分就在区
间[a，b]上定义了一个函数，故而可记为：
简称为变上限函数。;定理1如果函数在区间[a，b]上连续，那么变上限函数在区间〔a，b〕内可导，并且
〔〕即：变上限函数对变上限x的导数等于被积函数在上限x处的值。
定理2原函数存在定理〕如果函数在
区间[a，b]上连续，那么函数是
函数在区间[a，b]上的一个原函数。;定理3〔牛顿——莱布尼兹公式〕设函数
在区间[a，b]上连续，且是的一个原
函数，那么或
例
求
解
;例
求
解
=;例
求
解
6.4定积分的计算
定积分的换元法
定理4设函数在区间[a，b]上连续，对于定积
分作变量代换。如果
1〕在区间[]上又连续导数。;2〕当变量t从变到时，单调
地变到那么又以下定积分换元公式：
6.4.2定积分的分部积分法
定理5设函数与在区间[a，b]
上有连续导数，那么有以下定积分的分部积
分公式：;例
求
解设，那么，
当时，；时，所以
例
求
解令，有；当时，；
时，，所以;例
求
解设，那么，当t从0变到
时，x从0变到2。所以
=
=;例
求
解
=;6.5定积分的应用;例
求椭圆的面积
解见图6.13所示，因为其中
〔〕。定积分
可用换元积分进行计算:设那么t
由0变到是4，x由0变到a。所以
=
可得S为：;2.旋转体的体积
例
求曲线与直线x＝1，x＝4及y＝0所围
成的平面图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积。
解如图6.17所示，当绕x轴旋转时由，公式
得
;3.平面曲线的弧长
例
计算摆线的一拱的长度〔〕
解;6.6广义积分
无限区间上的积分;例
求广义积分解
无界函数的积分
定义4