浙江省杭州市S9联盟2024-2025学年高二下学期期中联考数学（解析版）.docx
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2024学年高二年级第二学期杭州S9联盟期中联考
数学试题
考生须知：
1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟；
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字．
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；
4．考试结束后，只需上交答题纸．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出，利用交集概念求出答案.
【详解】由题意得，，则．
故选：A．
2.在复平面内，复数对应的点位于（）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】应用复数乘法计算得出复数，再得出对应点即可.
【详解】复数，
对应的点为，点在第二象限.
故选：B.
3.已知，，，则过点且与线段平行的直线方程为（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求得线段的斜率，由点斜式求得正确答案.
【详解】因为，，，
所以，
则所求直线的斜率为，
所以过点且与线段平行的直线方程为，即．
故选：B
4.设，则“”是“”的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】解不等式得的范围，依据小范围推出大范围的原则判定充分必要条件.
【详解】由，解得或，
故由能够推出；由不能够推出，
故“”是“”的充分不必要条件，
故选：A．
5.函数的单调递增区间是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求导后，令，解出单调增区间即可.
【详解】，
因为恒成立，
所以当时，，
即函数的单调递增区间是.
故选：D.
6.椭圆（）的两个焦点分别为、，以为边作正三角形，若椭圆恰好平分三角形的另两边，则椭圆的离心率为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设以为边作正三角形与椭圆交于，两点，根据题中条件得，则，构建的等量关系即可求离心率.
【详解】设以为边作正三角形与椭圆交于，两点，
则，所以，
由椭圆的定义可得，即，
则离心率.
故选：B.
7.正方体中，直线与平面所成角的正弦值为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可.
【详解】以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系．
设正方体的棱长为1，则，，，，，
∴，，，，
∴，，∴，．
又，∴平面，
∴是平面的一个法向量，
∵，
∴直线与平面所成角的正弦值为．
故选：C
8.定理：如果函数及满足：①图像在闭区间上连续不断；②在开区间内可导；③对，，那么在内至少存在一点，满足成立，该定理称为柯西中值定理．请利用该定理解决下面问题：
已知，若存在正数，（），满足，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】令，由柯西中值定理可知：那么在内至少有一点，满足，令，对求导，求出的值域，即可得出答案.
【详解】由可得：，
令，所以
由柯西中值定理可知：那么在内至少有一点，满足成立，
因为，，所以，，
所以令，
，，
令可得：或，
令可得：，
所以在上单调递增，在上单调递减，
又，，
当趋于正无穷时，趋近，
所以，所以实数的取值范围为.
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.已知等差数列的前项和为，公差，，是与的等比中项，则下列选项正确的是()
A. B.
C.有最大值 D.当时，最大值为21
【答案】BC
【解析】
【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式，列出关于和公差d的方程组，求得通项公式后逐项判断即可.
【详解】设公差为d，则由题可知，解得，，
故B正确；
，，故A错误；
∵，，故根据等差数列前n项和的性质可知有最大值，故C正确；
＞0，则，故的最大值为20，故D错误.
故选：BC.
10.已知函数.则下列结论正确的有（）
A.的最小正周期为
B.是的最大值
C.把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象
D.将函数的图象向右平移（）个单位长度，所得图象关于原点对称，则的最小值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据三角函数模型可判断A，B，再利用图象变换判断CD.
【详解】A，由，故A正确，
B，因为，故B错误，
C，把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，