精品解析：北京市北京师范大学附属中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题（原卷版）.docx

北京师大附中2024-2025学年（下）高二期中考试

数学试卷

考生须知

1．本试卷有三道大题，共6页.考试时长120分钟，满分150分.

2．考生务必将答案填写在答题纸上，在试卷上作答无效.

3．考试结束后，考生应将答题纸交回.

一、选择题共10小题，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1.在等差数列中，，，则（）

A.4 B.5 C.6 D.9

2.已知函数，则（）

A. B. C.2 D.1

3.学校组织游学，学生可以从华山、衡山、恒山、嵩山四个景点中任选一处前往，3个好朋友每人随机选择一个目的地，不同选法的种数是（）

A.81 B.64 C.24 D.12

4.已知函数，则在下列区间上，单调递减的是（）

A. B.

C. D.

5.设等比数列的前n项和为．若，，则（）

A B. C.0 D.

6.已知函数在处取得极小值，则m值为（）

A. B.1 C.或1 D.或2

7.等比数列中，公比为q，则“”是“”的（）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件

8.已知定义在R上的函数的导函数的图象如图所示，下列命题中正确的是（）

A.是的极值点

B.在区间上单调递增

C.是在区间上最小值点

D.曲线在点处的切线斜率小于零

9.设数列的前项和为．若，，则（）

A.18 B.12 C.6 D.3

10.若数列各项均为正数，且，则下列结论错误的是（）

A.对任意， B.当时，存在，使得

C.可以常数列 D.当时，对任意，

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

11.曲线的一条切线斜率为0，则该切线的切点坐标为________．

12.3名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为________．（结果用数字作答）

13.已知函数的导函数为，对任意，恒成立，则a的一个取值可以是________

14.数列满足：对任意，数列，，是公差为的等差数列，且数列也是等差数列．若，，，则________；的前9项和等于________．

15.已知函数，，给出下列四个结论：

①当时，有1个极值点；

②当时，存在极值点；

③当时，有1个零点；

④当时，存在实数，使得有3个零点．

其中所有正确结论的序号为________．

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16.在等差数列中，，．

（1）求通项公式及其前项和的最小值；

（2）若数列为等比数列，且，，求的前项和．

17.已知函数．

（1）求的单调区间；

（2）若在区间上的最大值为，求它在该区间上的最小值．

18.在数列中，，．

（1）求的通项公式；

（2）若数列满足对任意，，且，，设其前项和为．

（ⅰ）设数列的前项和为，求证：；

（ⅱ）若对任意，恒成立，写出实数的最小值．（结论不要求证明）

19.已知函数．

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）求的单调区间，

（3）若对任意，恒成立，求实数的取值范围．

20.已知函数定义域为．

（1）求m的值；

（2）求证：不存在极值点；

（3）对任意给定的，求证：关于x的方程恰有一个正根．

21.已知数列，若存在，使得对任意，都有，则称为周期数列，其中满足条件的最小的T称为的最小周期．设数列满足，其中，，，．

（1）当，b分别为1，2，3，4时，直接写出数列的最小周期；

（2）当时，求证：对任意，的最小周期为定值；

（3）当a为大于2的质数，时，设T为的最小周期，．求证：S为整数．（参考结论：若p为大于2的质数，则是p的倍数）