精品解析：北京市朝阳区2024-2025学年高三下学期质量检测二数学试题（原卷版）.docx

北京市朝阳区高三年级第二学期质量检测二

数学试卷

2025.5

（考试时间120分钟满分150分）

本试卷分为选择题40分和非选择题110分

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1.已知集合，集合，则集合（）

A. B. C. D.

2.若抛物线的焦点坐标为，则抛物线C的准线方程为（）

A. B. C. D.

3.已知，则（）

A. B. C. D.

4.已知的展开式中，第4项和第6项的系数相等，则（）

A.7 B.8 C.9 D.10

5.已知函数，则对任意实数x，有（）

A. B.

C. D.

6.在矩形中，，点E为线段中点，与交于点F．设，其中分别是与方向相同的单位向量，则（）

A. B.

C. D.

7.设，则“”是“”（）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

8.已知函数，曲线在点处的切线方程为，设函数，则（）

A.当时， B.当时，

C当时， D.当时，

9.金刚石是由碳元素组成的单质，具有极高的硬度，在工业中有广泛的应用，如图1所示，组成金刚石的每个碳原子都与其相邻的4个碳原子以完全相同的方式连接．从立体几何的角度，可以认为4个碳原子分布在一个正四面体的4个顶点A，B，C，D处，中间的碳原子处于与这4个碳原子距离都相等的位置（点E处），如图2所示，设，则E到平面的距离为（）

A. B. C. D.

10.设无穷数列的前n项和为，定义，则（）

A.当时，

B.当时，

C.当时，则

D.当时，

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．

11.若复数z满足，则__________．

12.已知等差数列满足，则__________；设为的前项和，则使的的最小值为__________．

13.在中，，且，则__________；面积的最大值为__________．

14.若直线与双曲线没有公共点，则双曲线C的离心率的一个取值为__________．

15.设，过原点的直线（不与轴重合）与圆交于点P与直线交于点．过点作轴的平行线，过点作轴的垂线，这两条直线交于点，称为的箕舌线函数，记作，给出下列四个结论：

①函数的图象关于y轴对称；

②若，则；

③设函数，则的最大值为；

④设函数，则的最小值为．

其中所有正确结论的序号是__________．

三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

16.已知函数．

（1）求的最小正周期和单调递增区间；

（2）设函数，再从条件①、条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在且唯一，求在区间上的最大值和最小值．

条件①：在区间上单调递增；

条件②：的最大值为；

条件③：为偶函数．

注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．

17.如图，在三棱柱中，底面侧面，侧面是边长为4的菱形，．

（1）求证：侧面为矩形；

（2）求直线与平面所成角的正弦值．

18.某电商平台为了解用户对配送服务满意度，分别从A地区和B地区随机抽取了500名和100名用户进行问卷评分调查，将评分数据按，，…，分组整理得到如下频率分布直方图：

（1）从A地区抽取的500名用户中随机抽取一名，求该用户评分不低于60分的概率；

（2）从B地区评分为的样本中随机抽取两名，记评分不低于90分的用户人数为X，求X的分布列和数学期望；

（3）根据图中样本数据，假设同组中每个数据用该组区间的中点值代替，设A地区评分的平均值估计为，A，B两地区评分的平均值估计为，比较与的大小关系．（直接写出结论）

19.已知椭圆的焦距为2，且过点．

（1）求椭圆E的方程；

（2）设直线与椭圆E交于不同的两点A，B，直线与直线交于点N，若（O是坐标原点），求k的值．

20.已知函数．

（1）若，求函数在区间上的最大值；

（2）若在区间上存在单调递减区间，求的取值范围；

（3）若存在极值点，且，求的值．

21.已知是无穷正整数数列，且对任意的，其中表示有穷集合S的元素个数．

（1）若，求的所有可能取值；

（2）求证：数列中存在等于1的项；

（3）求证：存在，使得集合为无穷集合．