河北省石家庄市无极县2025届高三数学模拟试题（二模）含解析.docx
河北省石家庄市无极县2025届高三数学模拟试题（二模）
一、单选题（本大题共8小题）
1．设集合，则（????）
A． B． C． D．
2．若，则（????）
A． B． C． D．
3．“”是“”的（????）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．某学校对100名学生的身高进行统计，得到各身高段的人数并整理如下表：
身高（cm）
[150，155）
[155，160）
[160，165）
[165，170）
[170，175）
[175，180]
频数
10
20
30
25
10
5
根据表中数据，下列结论中正确的是（????）
A．100名学生身高的中位数小于160cm
B．100名学生中身高低于165cm的学生所占比例超过
C．100名学生身高的极差介于20cm至30cm之间
D．100名学生身高的平均值介于160cm至165cm之间
5．已知等差数列的前项和为，公差为，且成等比数列，则（????）
A． B． C． D．
6．在三棱锥中，，且二面角的大小为，则当该三棱锥的外接球体积最小时，（????）
A． B．3 C． D．
7．已知，，则的值为（????）
A． B． C． D．
8．已知，则（????）
A． B．
C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知非零单位向量和，若，向量在向量上的投影向量为，向量在向量上的投影向量为，则下列结论正确的是（????）
A． B．
C． D．
10．设定义运算，已知函数，则（????）
A．是偶函数 B．2π是的一个周期
C．在上单调递减 D．的最小值为
11．已知椭圆的左，右焦点分别为，，圆，点P在椭圆C上，点Q在圆M上，则下列说法正确的有（????）
A．若椭圆C和圆M没有交点，则椭圆C的离心率的取值范围是
B．若，则的最大值为4
C．若存在点P使得，则
D．若存在点Q使得，则
三、填空题（本大题共3小题）
12．与双曲线有公共渐近线，且过点的双曲线的方程为．
13．若正实数是关于的方程的根，则.
14．如图，在的长方形棋盘的每个小方格中各放一个棋子.如果两个棋子所在的小方格共边或共顶点，则称这两个棋子相连.现从这56个棋子中取出一些，使得棋盘上剩下的棋子没有五个在一条直线（横、竖、斜方向）上依次相连.则最少取出个棋子才可能满足要求.
四、解答题（本大题共5小题）
15．在中，内角所对的边分别为，已知.
(1)证明：；
(2)若边上的中线的长为，求.
16．如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点．
??
(1)求证：平面PAC⊥平面PBC；
(2)若AB＝2，AC＝1，PA＝1，求二面角C－PB－A的余弦值．
17．一种特殊的单细胞生物在一个生命周期后有的概率分裂为两个新细胞，的概率分裂为一个新细胞，随后自身消亡.新细胞按相同的方式分裂，并且每个细胞的分裂情况相互独立，如此繁衍下去.某实验人员开始观察一个该种单细胞生物经过个生命周期的分裂情况，将第个生命周期后的活细胞总数记为随机变量.
(1)若，
（i）求随机变量的分布列和期望;
（ii）求事件“”的概率;
(2)已知在的条件下，的期望称为条件期望，其定义为，试求条件期望和的期望.
18．已知点为椭圆的右端点，椭圆的离心率为，过点的直线与椭圆交于两点，直线分别与轴交于点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)试判断线段的中点是否为定点，若是，求出该点纵坐标，若不是，说明理由.
19．若数列满足：①；②；③当整数时，存在正整数及，，…，，使得；④对于任意正整数及，，…，，都有.则称数列“非零可表”.
(1)若数列满足，判断是否“非零可表”，并说明理由；
(2)若数列满足，，证明：数列“非零可表”；
(3)证明：存在满足的数列“非零可表”.
答案
1．【正确答案】B
【详解】，故，
故选B.
2．【正确答案】C
【详解】由．
故选C.
3．【正确答案】B
【详解】不等式等价于等价于，所以，
即，解得或，
故能推出成立，但是成立不一定有，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选B
4．【正确答案】D
【详解】100名学生身高的中位数是第和第名学生身高的平均值，
第名和第名学生的身高均大于，所以100名学生身高的中位数大于160cm，故A错误；
100名学生中身高低于165cm的学生有名，
所以100名学生中身高低于165cm的学生所占比例为，故B错误；
100名学生身高的极差最大为，最小为，
但是“介于”不能准确表示临界值能否取到，故C错误；
100名学生身高的平均值为，故D正确.
故选D.
5．【正确答案】C
【详解】解：由题意，，得，解得，
所以，
故选C.
6．【正确答案】A
【详解】由于