2010-2023历年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(全国卷Ⅱ).docx
2010-2023历年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(全国卷Ⅱ)
第1卷
一.参考题库(共25题)
1.(本小题满分10分)
在中,,。
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)设的面积,求的长。
参考答案:(Ⅰ)
(Ⅱ)
2.若动直线与函数和的图像分别交于两点,则的最大值为(???)
A.1
B.
C.
D.2
参考答案:B
3.等腰三角形两腰所在直线的方程分别为与,原点在等腰三角形的底边上,则底边所在直线的斜率为(???)
A.3
B.2
C.
D.
参考答案:A
4.(本小题满分12分)
设函数。
(Ⅰ)求的单调区间;
(Ⅱ)如果对任何,都有,求的取值范围。
参考答案:(Ⅰ)在每一个区间()是增函数,
在每一个区间()是减函数。????
(Ⅱ)(Ⅰ)。?????2分
当()时,,即;
当()时,,即。
因此在每一个区间()是增函数,
在每一个区间()是减函数。????6分
(Ⅱ)令,则
。
故当时,。
又,所以当时,,即。??????9分
当时,令,则。
故当时,。
因此在上单调增加。
故当时,,
即。
于是,当时,。
当时,有。
因此,的取值范围是。??12分
5.已知ABC中,cotA=,则cosA=(????)
A.
B.
C.
D.
参考答案:D
6.已知双曲线的右焦点为F且斜率为的直线交C于A、B两点,若,则C的离心率为(????)
A.????????????B.?????????????C.??????????????D.
参考答案:A
7.(本小题满分12分)
某车间甲组有10名工人,其中有4名女工人;乙组有5名工人,其中有3名女工人,现采用分层抽样方法(层内采用不放回简单随机抽样)从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核.
(I)求从甲、乙两组各抽取的人数;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m??????????
(II)求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率;
(III)记表示抽取的3名工人中男工人数,求的分布列及数学期望.
参考答案::⑴按照抽取的比例,甲组和乙组抽取的人数分别为,
所以应在甲组抽取2人,在乙组抽取1人.
⑵设从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的事件为A,则P(A)=.
⑶依题意
由,
,得的分布列如下表:
????
????0
?????1
????2
????3
?????P
????
?????
????
????
所以的数学期望
8.设且,若复数是实数,则(???)
A.
B.
C.
D.
参考答案:A
9.的展开式中的系数是(???)
A.
B.
C.3
D.4
参考答案:B
10.甲、乙两人从4门课程中各选修2门,则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有(????)
A.6种
B.12种
C.30种
D.36种
参考答案:C
11.曲线y=在点(1,1)处的切线方程为(????)
A.x-y-2=0
B.x+y-2=0
C.x+4y-5=0
D.x-4y-5=0
参考答案:B
12.从20名男同学,10名女同学中任选3名参加体能测试,则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的概率为(???)
A.
B.
C.
D.
参考答案:D
13.设集合A=则AB=(????)
A.
B.(3,4)
C.(-2,1)
D.(4+)
参考答案:B
14.已知是抛物线的焦点,过且斜率为1的直线交于两点。设,则与的比值等于???????。
参考答案:
15.(本小题满分12分)
如图,正四棱柱中,,点在上且。
(Ⅰ)证明:平面;
(Ⅱ)求二面角的大小。
参考答案:(Ⅰ)证明见解析。
(Ⅱ)
16.已知正四棱锥的侧棱长与底面边长都相等,是的中点,则所成的角的余弦值为(???)
A.
B.
C.
D.
参考答案:C解法一:连接AC、BD交于O,连接OE,因OE∥SD。所以∠AEO为所求。设侧棱长与底面边长都等于2,则在⊿AEO中,OE=1,AO=,AE=,
于是。
解法二:建立如图所示坐标系,
令正四棱锥的棱长为2,则A(1,-1,0),D(-1,-1,0),S(0,0,),E(),则,因此可知cos,故选C.
考点:本题主要考查了多面体的结构特征和空间角的求法,同时,还考查了转化思想和运算能力,属中档题.
点评:解决该试题的关键是由于是正方体,又是求角问题,所以易选用向量量,所以建立如图所示坐标系,先求得相关点的坐标,进而求得相关向量的坐标,最后用向量夹角公式求解.
17.=(????)
A.-2+4i
B.-2-4i
C.2+4i
D.2-4i
参考答案:A
18.(本小题满分12分)
设数列的前项和为。已知,,。
(Ⅰ)设,求数列的通项公式;
(Ⅱ)若,,求的取值范围。
参考答案:(Ⅰ),。
(Ⅱ)
19.已知直线与抛物线相交于A、B两点,F为C的焦点,