天津市南开区2023-2024学年高一下学期阶段性质量监测 数学试题（含解析）.docx
2023—2024学年度第二学期阶段性质量监测
高一年级数学学科
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共100分，考试时间100分钟．
参考公式：
?球的体积公式，其中R表示球的半径．
?锥体的体积公式，其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高．
?如果事件A，B互斥，那么．
一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知平面四边形ABCD满足，则四边形ABCD是（）．
A．正方形B．菱形C．梯形D．平行四边形
2．复数（i是虚数单位）的虚部是（）
A．1B．-iC．2D．-2i
3．为了解某地高三学生的期末语文考试成绩，研究人员随机抽取了100名学生对其进行调查，根据所得数据制成如图所示的频率分布直方图，已知不低于90分为及格，则这100名学生期末语文成绩的及格率为（）．
A．40％B．50％C．60％D．65％
4．i为虚数单位，若（），则（）．
A．-1B．1C．2D．3
5．给出下列命题：
①圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线；
②两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；
③以直角梯形的一条直角腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体是圆台；
④用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形．
其中正确命题是（）．
A．①②B．①③C．②③D．②④
6．一组数据：53，57，45，61，79，49，x，若这组数据的第80百分位数与第60百分位数的差为3，则x＝（）．
A．58或64B．58C．59或64D．59
7．已知某圆锥的底面半径为2，其体积与半径为1的球的体积相等，则该圆锥的母线长为（）．
A．1B．2C．D．5
8．利用简单随机抽样的方法，从n个个体（）中抽取13个个体，若第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的可能性为（）．
A．B．C．D．
9．已知为单位向量，向量，且，则（）
4．135°B．60°C．45°D．30°
10．如图，在三棱柱中，，，点D是棱上的点，，若截面分这个棱柱为两部分，则这两部分的体积比为（）．
A．1∶2B．4∶5C．4∶9D．5∶7
二、填空题：本大题共5个小题，每小题3分，共15分．
11．A，B，C三所学校的高一学生共有800名，其中男、女生人数如下表：
A校
B校
C校
男生
97
90
x
女生
153
160
y
现用分层随机抽样的方法从这三所学校的所有高一学生中抽取48人，则应从C校抽取的人数为________．
12．一个盒子中放有红色、黑色、白色的小球共40个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色球、黑色球的频率分别稳定在15％和45％，则盒子中白色球的个数可能是________个．
13．在复平面内，复数的共轭复数对应的点在直线上，则实数a＝________．
14．长方体中，，，O是的中点，则直线AO与平面所成角的正切值为________．
15．边长为2的等边中，，，则的最小值为________．
三、解答题：本大题共5个小题，共55分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分8分）
现有男生和女生各3人，从中任选2人参加一项测试，求：
（Ⅰ）恰有一名参赛学生是男生的概率；
（Ⅱ）至少有一名参赛学生是男生的概率；
（Ⅲ）至多有一名参赛学生是男生的概率．
17．（本小题满分10分）
设，是平面内两个不共线的向量．
（Ⅰ）若，，，求证：A，B，D三点共线；
（Ⅱ）试确定实数k，使和共线；
（Ⅲ）若，，，求实数m的值．
18．（本小题满分12分）
已知内角A，B，C的对边分别是a，b，c，，，D是BC边上的一点，，．
（Ⅰ）求c的长；
（Ⅱ）求．
19．（本小题满分12分）
已知内角A，B，C的对边分别是a，b，c，向量，，．
（Ⅰ）求角C的大小：
（Ⅱ）若，且，求c．
20．（本小题满分13分）
如图，四棱锥P-ABCD中，，，，E，F分别为线段AD，PC的中点．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求证：．
2023—2024学年度第二学期阶段性质量监测参考答案
高一年级数学学科
一、选择题：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
A
C
B
B
A
C
B
C
D
二、填空题：
11．18；12．16；13．-1；