河南省部分高中2024-2025学年高三下学期第四次考试（小高考）数学试题（含答案解析）.docx
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河南省部分高中2024-2025学年高三下学期第四次考试（小高考）数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知复数满足，则（???）
A． B． C． D．
2．已知集合，，若，则（???）
A． B． C．或 D．或
3．圆与圆的位置关系是（???）
A．相切 B．外离 C．内含 D．相交
4．已知两个不相等的向量，，若，则（???）
A． B． C． D．
5．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（???）
A． B． C． D．
6．已知数列满足，，且对任意，，则（???）
A． B． C． D．
7．已知正四棱台的上、下底面边长分别为，，该四棱台的所有顶点都在球的球面上，且球心是下底面的中心，则该四棱台的体积为（???）
A． B． C． D．
8．已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，点在上，满足，直线与轴交于点，且，则的离心率为（???）
A． B． C． D．
二、多选题
9．在正方体中，下列结论正确的是（???）
A．平面 B．平面
C．平面平面 D．平面平面
10．已知函数，则下列结论正确的是（???）
A．存在负数，使得没有零点 B．若恰有个零点，则
C．若恰有个零点，则 D．当时，恰有个零点
11．蔓叶线是公元前世纪古希腊数学家狄奥克勒（Diocle）为了解决倍立方问题发现的曲线，因形似植物藤蔓而得名．按照如下方式可得到一条蔓叶线：在抛物线：上取一动点，作在该动点处的切线，过坐标原点作这条切线的垂线，垂足的轨迹就是如图所示的蔓叶线．下列结论正确的是（???）
A．点在上
B．直线是的渐近线
C．点到上的点的距离最小值为
D．若过点的直线与和抛物线分别交于点，（异于点），则
三、填空题
12．用，，，…，这个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数的个数为．
13．已（）是奇函数，则的最大值为．
14．在中，角，，的对边分别为，，，角的平分线与交于点，若，则的取值范围是．
四、解答题
15．已知等比数列满足，且是，的等差中项．
(1)求的通项公式；
(2)设数列的前项和为，求．
16．已知函数．
(1)求的最小正周期及单调递增区间；
(2)令函数，若，，（，）成公差为的等差数列，证明：为定值．
17．某商场举办购物抽奖活动，在一个不透明的袋子中放入个大小、材质都相同的小球，小球有红和蓝两种颜色，每个小球上都画有符号“○”或“×”，不同颜色和符号的小球个数如下表所示．从袋中随机摸出一个球，记事件为“摸出红球”，事件为“摸出画○的球”．
红球
蓝球
画○
画×
(1)求和．
(2)该商场规定在一次抽奖中，每人有放回地摸两次球，每次只摸出一个球，根据两次摸出球的颜色和符号是否相同设置三种奖项，等级从高到低依次为：颜色和符号均相同为一等奖；仅颜色相同或仅符号相同为二等奖；颜色和符号均不相同为三等奖．
（ⅰ）以“结果发生的可能性越小，奖项等级越高”为标准，请你判断该奖项设置是否合理；
（ⅱ）若按（ⅰ）中的标准对上述三种结果重新设置奖项，并且一等奖奖励元，二等奖奖励元，三等奖奖励元，要使一次抽奖的奖金期望值不超过元，则的最大值为多少？
18．已知函数．
(1)若，求在上的最值．
(2)若且，关于的方程在上仅有一个实根．
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）求的最大值．
19．如图，在四面体中，点在平面内的射影恰在棱上，为的中点，，，和的面积均为．
(1)若，且与均为锐角，证明：平面；
(2)若将，，三点在空间中的位置固定，试分析点的轨迹是什么曲线；
(3)求的最小值．
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《河南省部分高中2024-2025学年高三下学期第四次考试（小高考）数学试题》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
C
B
C
D
D
B
B
BD
AD
题号
11
答案
ABD
1．A
【分析】根据复数的除法运算计算即可得解.
【详解】，则.
故选：A.
2．C
【分析】分和两种情况进行讨论，结合集合中元素的特性即可得答案.
【详解】①当时，解得，此时，满足题意，
②当时，解得，此时，满足题意，
故选：C.
3．B
【分析】将两圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径，根据圆心距与半径和差的大小关系判断圆与圆的位置关系即