河南省信阳市固始县永和高级中学、信合外国语高级中学2024-2025学年高三下学期二模联考数学试题（含答案解析）.docx
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河南省信阳市固始县永和高级中学、信合外国语高级中学2024-2025学年高三下学期二模联考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合，则A的子集个数为（????）
A．4 B．7 C．8 D．16
2．在复数集中，我们把实部与实部相等，虚部与虚部互为相反数的一对具有孪生关系的复数记为和，他们也是实系数一元二次方程（）在判别式小于0时的两个复数根，我们将这种关系定义为共（???）
A．额 B．呃 C．扼 D．轭
3．记等差数列的前项和为，已知，则（????）
A．33 B．44 C．55 D．66
4．在中，角、、所对的边分别为、、，则“”是“”的（）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知公比不为1的等比数列的前项和为，若数列是首项为1的等差数列，则（????）
A． B． C． D．
6．已知抛物线的焦点为，准线为是上一点，是直线与的一个交点，若，则（????）
A． B．3 C． D．2
7．若，且与存在且唯一，则（????）
A．2 B．4 C． D．
8．已知是奇函数，则在处的切线方程是（????）
A． B． C． D．
二、多选题
9．星等是衡量天体光度的量.为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯（又名依巴谷）在公元前二世纪首先提出了星等这个概念，例如，1等星的星等值为1，等星的星等值为.已知两个天体的星等值，和它们对应的亮度，满足关系式，关于星等下列结论正确的是（????）
A．星等值越小，星星就越亮
B．1等星的亮度恰好是6等星的100倍
C．若星体甲与星体乙的星等值的差小于2.5，则星体甲与星体乙的亮度的比值小于
D．若星体甲与星体乙的星等值的差大于10，则星体甲与星体乙的亮度的比值小于
10．如图是一块高尔顿板示意图，在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为0，1，2，3，…，10，用X表示小球落入格子的号码，则（????）
A． B．
C． D．
11．已知复数满足，（为虚数单位），是方程在复数范围内的两根，则下列结论正确的是（???）
A．的最小值为 B．的最小值为4
C．当时，则 D．当时，则
三、填空题
12．经过椭圆的右顶点与上顶点的直线斜率为，则的离心率为.
13．如图，圆柱的轴截面为矩形，点，分别在上、下底面圆上，，，，，则异面直线AM与CN所成角的余弦值为.
14．若直线与曲线相切，则的取值范围为.
四、解答题
15．如图，在多面体中，，，，平面，，，.
(1)求证：直线平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)求点到平面的距离.
16．某高新技术企业新研发出了一种产品，该产品由三个电子元件构成，这三个电子元件在生产过程中的次品率分别为，组装过程中不会造成电子元件的损坏，若有一个电子元件是次品，则该产品为次品.现安排质检员对这批产品一一检查，确保无任何一件次品流入市场.
(1)若质检员检测出一件次品，求该产品仅有一个电子元件是次品的概率;
(2)现有两种方案，方案一:安排三个质检员先行检测这三个元件，次品不进入组装生产线;方案二:安排一个质检员检测成品，一旦发现次品，则取出重新更换次品的电子元件，更换电子元件的费用为20元/个.已知每个质检员每月的工资约为3000元，该企业每月生产该产品件，请从企业获益的角度选择最优方案.
17．已知椭圆的离心率为，以C的短轴为直径的圆与直线相切.
(1)求C的方程；
(2)直线：与C相交于A，B两点，过C上的点P作x轴的平行线交线段AB于点Q，直线OP的斜率为（O为坐标原点），△APQ的面积为.的面积为，若，判断是否为定值？并说明理由.
18．已知双曲线的左?右焦点分别为，焦距为4，虚半轴长为1.如图，直线与双曲线的右支交于两点，其中点在第一象限.与关于原点对称，连接与，其中垂直于的平分线，垂足为.
??
(1)求双曲线的标准方程；
(2)求证：直线与直线的斜率之积为定值；
(3)求的最小值.
19．英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当在处的阶导数都存在时，．注：表示的2阶导数，即为的导数，表示的阶导数，该公式也称麦克劳林公