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数字信号处理教程知识点

以下是数字信号处理教程中的一些重要知识点：

一、离散时间信号与系统

1.离散时间信号

-定义：离散时间信号是定义在离散时间点上的信号序列，通常表示为\(x[n]\)，\(n\)为整数。

-常见离散信号类型

-单位脉冲序列：\(\delta[n]=\begin{cases}1,n=0\\0,n\neq0\end{cases}\)，它是离散系统分析中的基本信号，类似于连续系统中的冲激函数。

-单位阶跃序列：\(u[n]=\begin{cases}1,n\geq0\\0,n0\end{cases}\)。

-指数序列：\(x[n]=a^{n}u[n]\)，其中\(a\)为常数，当\(\verta\vert1\)时，序列是发散的；当\(\verta\vert1\)时，序列是收敛的。

2.离散时间系统

-线性时不变系统（LTI）

-线性性质：满足可加性和齐次性。即对于系统\(T\)，如果\(y_1[n]=T[x_1[n]]\)，\(y_2[n]=T[x_2[n]]\)，那么\(T[\alphax_1[n]+\betax_2[n]]=\alphay_1[n]+\betay_2[n]\)，其中\(\alpha\)和\(\beta\)为常数。

-时不变性质：若\(y[n]=T[x[n]]\)，则\(y[n-n_0]=T[x[n-n_0]]\)，即系统的特性不随时间的平移而改变。

-系统的差分方程描述：一般形式为\(\sum_{k=0}^{N}a_{k}y[n-k]=\sum_{m=0}^{M}b_{m}x[n-m]\)，它描述了系统的输入输出关系。

二、Z变换

1.定义

-\(X(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]z^{-n}\)，其中\(z=re^{j\omega}\)是复变量，\(r\)为模，\(\omega\)为辐角。

2.收敛域（ROC）

-使\(Z\)变换级数收敛的\(z\)值的集合。对于因果序列（\(x[n]=0,n0\)），收敛域为\(\vertz\vertR_x\)；对于反因果序列（\(x[n]=0,n\geq0\)），收敛域为\(\vertz\vertR_x\)；对于双边序列，收敛域是一个圆环\(R_{x1}\vertz\vertR_{x2}\)。

3.Z变换的性质

-线性性质：若\(x_1[n]\leftrightarrowX_1(z)\)，\(ROC_1\)；\(x_2[n]\leftrightarrowX_2(z)\)，\(ROC_2\)，则\(\alphax_1[n]+\betax_2[n]\leftrightarrow\alphaX_1(z)+\betaX_2(z)\)，\(ROC\)包含\(ROC_1\capROC_2\)。

-时移性质：若\(x[n]\leftrightarrowX(z)\)，\(ROC\)，则\(x[n-n_0]\leftrightarrowz^{-n_0}X(z)\)，\(ROC\)不变（除\(z=0\)或\(z=\infty\)可能增加或减少极点外）。

-卷积定理：若\(x_1[n]\leftrightarrowX_1(z)\)，\(ROC_1\)；\(x_2[n]\leftrightarrowX_2(z)\)，\(ROC_2\)，则\(x_1[n]x_2[n]\leftrightarrowX_1(z)X_2(z)\)，\(ROC\)包含\(ROC_1\capROC_2\)。

三、离散傅里叶变换（DFT）

1.定义

-设\(x[n]\)是长度为\(N\)的离散序列，\(X[k]=\sum_{n=0}^{N-1}x[n]W_N^{nk}\)，其中\(W_N=e^{-j\frac{2\pi}{N}}\)，\(k=0,1,\cdots,N-1\)。

-逆离散傅里叶变换（IDFT）：\(x[n]=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}X[k]W_N^{-nk}\)，\(n=0,1,\cdots,N-1\)。

2.性质

-线性性质：若\(x_1[n]\)和\(x_2[n]\)的\(DFT\)分别为\(X_1[k]\)和\(X_2[k]\)，则\(\alphax_1[n]+\betax_2[n]\)的\(DFT\)为\(\alphaX_1[k]