2024-2025学年北京大学附中元培学院高一（下）期中数学试卷（含答案 ）.docx
第=page11页，共=sectionpages11页
2024-2025学年北京大学附中元培学院高一（下）期中
数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图所示，用符号语言可表达为(????)
A.α∩β=m，n?α，m∩n=A
B.α∩β=m，n∈α，m∩n=A
C.α∩β=m，n?α，A?m，A?n
D.α∩β=m，n∈α，A∈m，A∈n
2.若复数z满足|z+i|=3，则在复平面内，复数z对应的点组成图形的周长为(????)
A.2π B.4π C.6π D.8π
3.已知向量a=(2,2)，则与向量a方向相反的单位向量是(????)
A.(1,0) B.(1,1) C.(22
4.如图，四边形O′A′C′B′表示水平放置的四边形OACB根据斜二测画法得到的直观图，O′A′=2，B′C′=4，O′B′=2，O′A′//B′C′，则AC=(????)
A.6
B.23
C.6
5.已知△ABC是直角三角形，每个边都增加相同的长度，则新的三角形为(????)
A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.无法判断
6.在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若A：B：C=1：1：4，则a：b：c=(????)
A.1：1：2 B.1：1：2 C.1：1：5 D.1：1
7.已知cos(φ+π6)=3
A.825 B.?825 C.7
8.如图，“六芒星”是由两个边长为2正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行，点A，B是“六芒星”(如图)的两个顶点，动点P在“六芒星”上(内部以及边界)，则OB?AP的取值范围是
A.[?23,23] B.[?
9.在一堂数学实践探究课中，同学们用镜而反射法测量学校钟楼的高度.如图所示，将小镜子放在操场的水平地面上，人退后至从镜中能看到钟楼顶部的位置，此时测量人和小镜子的距离为a1=1.00m，之后将小镜子前移a=6.00m，重复之前的操作，再次测量人与小镜子的距离为a2=0.60m，已知人的眼睛距离地面的高度为?=1.75m
A.27.75m B.27.25m C.26.75m D.26.25m
10.若函数f(x)=2sinx+cosx?3,x∈(0,π)的两个零点分别为x1和x2
A.?35 B.?15 C.
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
11.已知复数z满足z(3?4i)=1+2i，则z的虚部是______．
12.已知向量a=(1,?2)，a?b=5，则
13.若f(x)=2sin3x+cos3x?1，则f(x)的最小值为______．
14.在棱长为1的正方体ABCD?A1B1C1D1中，若点
15.在△ABC中，C=45°，(AB+3AC)?BC=0，以下有关于△ABC的4个命题．
①sinB=1010；
②tanA=2；
③BA在BC方向上的投影向量为34BC
三、解答题：本题共6小题，共50分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
已知复数z=1+bi(b∈R,i为虚数单位)，z在复平面上对应的点在第四象限，且满足zz?=4(z?为z的共轭复数)．
(1)求实数b的值；
(2)若复数z是关于x的方程px2+2x+q=0(p≠0，且
17.(本小题8分)
已知向量a，b满足|a|=2，|b|=1，且a，b的夹角为60°．
(1)求|a?b|；
(2)求b在a上的投影向量；
(3)若向量
18.(本小题8分)
已知函数f(x)=sinxcosx+3cos2x?32．
(Ⅰ)求f(x)的单调递增区间；
(Ⅱ)若函数
19.(本小题8分)
如图，在平面四边形ABCD中，∠D=2∠B，CD=3AD=3，BC=6，cosB=33．
(1)求四边形ABCD的周长；
(2)
20.(本小题9分)
如图，市政改造工程要在道路EF的一侧修建一条新步道，新步道的前一部分为曲线段FBC，该曲线段是函数y=Asin(ωx+2π3)(A0,ω0),x∈[?4,0]的图象，且图象的最高点为B(?1,2)，新步道的中部分为长1千米的直线跑道CD，且CD/?/EF，新步道的后一部分是以O为圆心的一段圆弧DE．
(Ⅰ)求曲线段FBC的解析式和∠DOE的大小；
(Ⅱ)若计划在圆弧步道所对应的扇形ODE区域内建面积尽可能大的矩形区域服务站，并要求矩形的一边MN紧靠道路EF上，一个顶点Q在半径OD上，另外一个顶点P在圆弧DE上，且∠POE=θ，若矩形MNPQ的面积记为S(θ)，求S(θ)的解析式，并求S(θ)的最大值以及相应的θ
21.(本小题9分)
z=r(co