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ACM程序设计电子科技这一周，你了吗？AC每周一星（5）：卫江第六讲并查集

（DisjointSet）导引问题 在某个城市里住着n个人，任何两个认识的人不是朋友就是敌人，而且满足：我朋友的朋友是我的朋友；我敌人的敌人是我的朋友； 已知关于n个人的m条信息（即某2个人是朋友或者敌人），假设所有是朋友的人一定属于同一个团伙，请计算该城市最多有多少团伙？如何实现？什么是并查集？英文：DisjointSet，即“不相交集合”将编号分别为1…N的N个对象划分为不相交集合，在每个集合中，选择其中某个元素代表所在集合。常见两种操作：合并两个集合查找某元素属于哪个集合所以，也称为“并查集”实现方法（1）用编号最小的元素标记所在集合；定义一个数组set[1..n]，其中set[i]表示元素i所在的集合；123456789101214261622iSet(i)不相交集合：{1,3,7},{4},{2,5,9,10},{6,8}方法(1)——效率分析find1(x){returnset[x];}Merge1(a,b){i=min(a,b);j=max(a,b);for(k=1;k=N;k++){if(set[k]==j)set[k]=i;}}Θ(1)Θ(N)有待改进？对于“合并操作”，必须搜索全部元素！树结构如何？实现方法（2）每个集合用一棵“有根树”表示定义数组set[1..n]set[i]=i,则i表示本集合，并是集合对应树的根set[i]=j,ji,则j是i的父节点.123456789101232134334iSet(i)15247103689方法(2)——效率分析find2(x){r=x;while(set[r]!=r)r=set[r];returnr;}merge2(a,b){if(ab)set[b]=a;elseset[a]=b;}Θ(1)最坏情况Θ(N)一般情况是…?困惑~~~性能有本质改进?如何避免最坏情况?避免最坏情况方法：将深度小的树合并到深度大的树实现：假设两棵树的深度分别为h1和h2,则合并后的树的高度h是:max(h1,h2),ifh1h2.h1+1,ifh1=h2.效果：任意顺序的合并操作以后，包含k个节点的树的最大高度不超过优化后算法及效率merge3(a,b){if(height(a)==height(b)){height(a)=height(a)+1;set[b]=a;}elseif(height(a)height(b))set[a]=b;elseset[b]=a;}find2(x){r=x;while(set[r]!=r)r=set[r];returnr;}最坏情况Θ(logN)Θ(1)进一步优化——路径压缩思想：每次查找的时候，如果路径较长，则修改信息，以便下次查找的时候速度更快步骤:第一步，找到根结点第二步，修改查找路径上的所有节点，将它们都指向根结点带路径压缩的查找算法find3(x){r=x;while(set[r]r)//循环结束，则找到根节点r=set[r];i=x;while(ir)//本循环修改查找路径中所有节点{j=set[i];set[i]=r;i=j;}

}路径压缩示意图9108122021164611164111101298202116示例—畅通工程(HDOJ-1232)题目描述： 某省调查城镇交通状况，得到现有城镇道路统计表，表中列出了每条道路直接连通的城镇。省政府“畅通工程”的目标是使全省任何两个城镇间都可以实现交通（但不