福建省莆田市2024-2025学年高三下学期第四次教学质量检测数学试题.docx
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福建省莆田市2024-2025学年高三下学期第四次教学质量检测数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合，，则（????）
A． B．
C． D．
2．小明所在的学校每周都要进行数学周测，他将近8周的周测成绩统计如下：112，101，93，99，106，105，114，119，则这组数据的第25百分位数是（????）
A．99 B．100 C．101 D．113
3．已知，，则在复平面内对应的点位于（????）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
4．已知向量满足，，且在上的投影向量为，则与的夹角为（????）
A． B． C． D．
5．沙漏也叫做沙钟，是一种测量时间的装置．现有一个沙漏（如图）上方装有的细沙，细沙从中间小孔由上方慢慢漏下，经过分钟时剩余的细沙量为，且（为常数），经过分钟时，上方还剩下一半细沙，要使上方细沙是开始时的，需经过的时间为（????）
A．分钟 B．分钟 C．分钟 D．分钟
6．已知某圆台下底面半径为2，高与上底面半径均为1，则该圆台外接球的表面积是（????）
A． B． C． D．
7．已知，，则（????）
A．3 B． C． D．
8．已知函数，，若对区间内任意两个实数，都有恒成立，则实数的取值范围是（????）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．已知抛物线的焦点为，点，为上的动点，则（????）
A．满足的点恰有两个
B．满足面积为的点恰有三个
C．的最小值为3
D．的最小值为
10．某校教研会上，共有3位统考科目（语文、数学、外语）教师，2位首选科目（物理、历史）教师，4位再选科目（化学、生物、政治、地理）教师进行发言，现用抽签的方式决定发言顺序，用事件（，）分别表示第位发言的是统考科目教师、首选科目教师、再选科目教师，则（????）
A． B．
C． D．
11．已知定义域为的函数是偶函数，且，，若，其中，则（????）
A． B．
C． D．的最小值为
三、填空题
12．与双曲线有共同渐近线，且过点的双曲线方程为．
13．已知函数的部分图象如图所示，且，则．
14．从1，2，…，2024中任取两数（可以相同），则的个位是7的概率为．
四、解答题
15．记的内角的对边分别为，，的面积为．
(1)求的大小；
(2)若外接圆的面积为，求的周长．
16．如图，在四棱锥中，底面是菱形，，，．
(1)求证：平面平面；
(2)求平面与平面夹角的正弦值．
17．已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，点满足．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若过点的直线交椭圆于两点，垂直于轴的直线与椭圆的另一个交点为，求面积的最大值．
18．已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若，函数有两个极值点．
（i）求实数的取值范围；
（ii）当满足时，求实数的最大值．
19．若无穷数列满足：对于，，其中A为常数，则称数列为“A数列”．
(1)若等比数列为“A数列”，求的公比q；
(2)若数列为“A数列”，且，．
①求证：；
②若，且是正项数列，，求满足不等式的的最小值．
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《福建省莆田市2024-2025学年高三下学期第四次教学质量检测数学试题》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
B
D
D
C
C
D
A
BCD
ACD
题号
11
答案
ACD
1．A
【分析】根据题意求集合B，进而可得交集.
【详解】因为，则，
所以．
故选：A．
2．B
【分析】把给定的数据由小到大排列，利用第25百分位数的定义求解.
【详解】这组数据从小到大排列为93，99，101，105，106，112，114，119，
由，得这组数据的第25百分位数是.
故选：B
3．D
【分析】由，求出，利用复数的运算法则求出表达式，进而可得对应象限.
【详解】因为所以，所以，
在复平面内对应的点为，位于第四象限．
故选：D．
4．D
【分析】利用给定的投影向量求出，再利用夹角公式计算即得.
【详解】依题意，在上的投影向量为，则，
所以，又，
所以，即与的夹角为．
故选：D．
5．C
【分析】根据分钟时，上方还剩下一半细沙，可列出方程，求出的值，然后令为原来的，即可求出结果