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Lévy过程下亚式期权定价的傅里叶变换方法

一、亚式期权与Lévy过程的理论基础

（一）亚式期权的定义与分类

亚式期权是一种路径依赖型期权，其收益取决于标的资产在特定时间区间内的平均价格。根据平均值的计算方式，可分为算术平均亚式期权和几何平均亚式期权。算术平均期权以算术平均价格作为行权依据，而几何平均期权则采用几何平均价格。由于算术平均的闭式解难以获得，其定价通常依赖数值方法或近似解析模型（KemnaVorst,1990）。

（二）Lévy过程的基本特性

Lévy过程是一类具有独立平稳增量的随机过程，能够描述资产价格中的跳跃和尖峰厚尾现象。其核心特征由Lévy-Khintchine公式表示，包含扩散项、漂移项和跳跃项。常见的Lévy过程模型包括VarianceGamma（VG）模型、CGMY模型和跳扩散模型（ContTankov,2003）。

（三）傅里叶变换在金融中的应用

傅里叶变换通过将定价问题转换到频域，可有效解决复杂路径依赖期权的计算难题。Carr和Madan（1999）提出的快速傅里叶变换（FFT）方法，通过期权价格的特征函数表达，显著提升了计算效率，尤其适用于Lévy过程下的期权定价。

二、传统亚式期权定价方法的局限性

（一）蒙特卡洛模拟的计算瓶颈

蒙特卡洛模拟是亚式期权定价的主流方法，但其计算复杂度随路径数和时间步长呈指数增长。对于Lévy过程，由于路径存在跳跃，模拟过程需引入更多随机变量，导致计算耗时大幅增加（Glasserman,2003）。

（二）解析近似的适用范围限制

几何平均亚式期权可通过Black-Scholes模型扩展获得闭式解，但算术平均期权缺乏精确解析解。现有近似方法（如对数正态近似）在Lévy过程下可能失效，因其无法准确捕捉跳跃特征（ZhangWang,2012）。

（三）Lévy过程下的建模挑战

Lévy过程的非高斯性质使得传统定价模型的概率密度函数难以解析表达。例如，CGMY模型的密度函数需通过逆傅里叶变换求解，直接积分计算效率低下。

三、傅里叶变换方法的核心框架

（一）期权价格的特征函数表达

基于风险中性定价理论，亚式期权价格可表示为期望值的折现。通过特征函数（即概率密度函数的傅里叶变换），可将期望计算转换为频域积分。对于算术平均期权，特征函数需考虑平均价格的联合分布（FusaiMeucci,2008）。

（二）快速傅里叶变换（FFT）的加速机制

FFT通过离散化频域积分并利用复数运算的对称性，将计算复杂度从(O(N^2))降至(O(NN))。在Lévy过程下，需调整网格参数（如步长(k)和截断点(N)）以平衡精度与效率（CarrMadan,1999）。

（三）概率密度函数的恢复技术

通过逆傅里叶变换可从特征函数中恢复标的资产价格的概率密度函数。对于亚式期权，需进一步推导平均价格的联合特征函数，并利用卷积定理处理路径依赖性问题（Schoutens,2003）。

四、Lévy过程下的具体应用与数值实现

（一）算术平均亚式期权的定价步骤

特征函数推导：基于Lévy过程的指数加性性质，计算标的资产价格和算术平均价格的联合特征函数。

FFT参数设置：确定频率网格的离散化步长与范围，避免混叠误差。

数值积分与反变换：通过FFT计算期权价格的频域积分，并进行逆变换得到最终价格。

（二）几何平均亚式期权的闭式扩展

几何平均期权的价格可通过Lévy过程的指数特性直接求解。例如，在VG模型下，几何平均价格仍服从Lévy过程，其闭式解可通过调整波动率和漂移率参数获得（MadanSeneta,1990）。

（三）数值案例与误差分析

以CGMY模型为例，假设标的资产参数为(C=0.02,G=5,M=10,Y=1.5)，行权价(K=100)，期限(T=1)年。通过FFT方法计算算术平均看涨期权价格，与蒙特卡洛模拟（10^6次路径）对比，结果显示绝对误差小于0.5%，计算时间减少90%（Albrecheretal.,2012）。

五、研究展望与扩展方向

（一）多维傅里叶变换的潜力

对于多资产亚式期权，可引入多维FFT技术处理高维积分问题。例如，彩虹亚式期权的定价需联合多个标的资产的特征函数，计算复杂度随维度增加而提升。

（二）机器学习与傅里叶方法的结合

利用神经网络逼近特征函数或优化FFT参数，可进一步提升计算效率。已有研究表明，深度学习在Lévy过程校准中具有显著优势（Horvathetal.,2021）。

（三）实际市场数据的实证检验

未来研究需在隐含波动率曲面和极端市场情境下测试模型鲁棒性。例如，2020年美股熔断期间，传统模型低估尾部风险，而Lévy-FFT方法可能更贴合实际价格动态。

结语

Lévy过程下亚式期权定价的傅里叶变换方法，通过频域