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《反证法》方法探究

一、用反证法证明否（肯）定性命题

对某些结论为肯定性或者否定性的命题的证明，从正面突破困难时，可用反证法证明.通过反设将肯定性命题转化为否定性命题或将否定性命题转化为肯定性命题，然后用转化后的命题作为条件进行推理，直到推出矛盾，从而达到证题的目的.

例1(★★☆)直线与椭圆:相交于两点，是坐标原点.当点在上且不是的顶点时，求证:四边形不可能为菱形.

解题导引用反证法证明，把直线方程与椭圆方程联立，设而不求，结合椭圆的特点判断.

二、用反证法证明存在性、唯一性命题

证明“有且只有一个”的问题，需要证明两方面，即存在性和唯一性.当证明结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现时，可先直接证“存在性”，再用反证法证“唯一性”(假设“唯一性”结论不成立易导出矛盾）.

例2(★★☆)是由定义在上且满足如下条件的函数组成的集合:①对任意的都有②存在常数使得对任意的都有

求证:设如果存在使得那么这样的是唯一的.

解题导引用反证法证明满足条件的不唯一，推出矛盾，否定假设.

参考答案

例1.

答案：见解析

解析：证明：假设四边形为菱形.因为点不是的顶点，且所以由消去并整理得设则设的中点为则因为为和的交点,且所以直线的斜率为因为所以与不垂直，所以四边形不是菱形，与假设矛盾.所以四边形不可能是菱形.

导师点睛证明否定性命题从正面突破往往比较困难，常用反证法证明.

例2.

答案：见解析

解析：证明：假设存在

且使得

则由

而

得

所以这与已知矛盾.

故假设错误，原结论成立.

导师点睛证明“唯一性”问题的方法：“唯一性”包含“有一个”和“除了这个没有另外一个”两层意思.证明后一层意思时，采用直接证明的方法往往会相当困难，因此一般情况下都采用间接证明的方法，即用反证法（假设“有另外一个”，推出矛盾）或同一法（假设“有另外一个”，推出它就是“已知那一个”）证明，而用反证法有时比用同一法更方便.