福建省漳州市乙丙级联盟校2024-2025学年高一下学期期中考试 数学 含解析 .docx
漳州市2024-2025学年（下）乙丙级联盟校高一联考
数学试卷
（考试时间：120分钟满分150分）
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量，，且，则（）
A.9 B.8 C.6 D.3
2.复数的共轭复数等于（）
A. B. C. D.
3.把按斜二测画法得到，如图所示，其中，，那么是一个（）
A.等边三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形 D.三边互不相等的三角形
4.已知，，，则与的夹角为（）.
A. B. C. D.
5.已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题正确的是（）
A.若，，，则
B.若，，，则
C.若，，则
D.若，，则
6.已知某圆台轴截面的周长为10、面积为，圆台的高为，则该圆台的表面积为（）
A. B. C. D.
7.在中，已知，，则的面积为（）
A. B. C.2 D.
8.已知单位向量，且向量的夹角为，若对任意的，恒成立，则实数的值为（）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.若向量，，则（）
A. B.
C.在上的投影向量为 D.与的夹角为
10.记，则下列结论正确的是（）
A. B. C. D.
11.已知的重心为，外心为，内心为，垂心为，则下列说法正确的是（）
A.若是中点，
B.若，则
C.与不共线
D.若，则.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知是方程的一个根，则_______.
13.已知向量，，若，则_______.
14.已知四边形中，，，则.设与面积分别为，.的最大值为_______.（第一空2分，第二空3分）
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）
如图，在中，，点是的中点，设，，
（1）用表示，；
（2）如果，，有什么位置关系？用向量方法证明你的结论.
16.（15分）
已知复数，其中是实数.
（1）若，求实数的值；
（2）若是纯虚数，求
17.（15分）
在中，内角所对的边分别为，且满足.
（1）求角的大小；
（2）若，，求的面积.
18.（17分）
在锐角中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若.
（1）求；
（2）若为_______，线段的延长线交于点，求的最大值或最小值.
（从条件①内心，，②垂心，③重心，，任选一个作答）
19.（17分）
如图所示正四棱锥，，，为侧棱上的点，且，求：
（1）正四棱锥的表面积；
（2）若为的中点，求证：平面；
（3）侧棱上是否存在一点，使得平面.若存在，求的值；若不存在，试说明理由.
参考答案
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1
2
3
4
5
6
7
8
C
D
A
A
B
C
D
B
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9
10
11
BC
ABC
ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.13.14.
四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.（13分）
【解析】
（1）因为，
所以，
因为是的中点，
.
（2）因为，
所以，所以.
16.（15分）
【解析】【详解】（1）复数，则，又a是实数，
因此，解得，
所以实数a的值是.
（2）复数，，
则，
因为是纯虚数，于是，解得，
因此，又，，，，
则，，，，，
即有，，
所以.
17.（15分）
【解析】
【详解】（1）在中，由，则，
由余弦定理知：，
因为，所以.
（2）因为，，所以，即，
由正弦定理，
由，所以，，
由，，解得：或，
即或，
①当时，，
在中，由正弦定理，所以，
所以；
②当时，三角形为等边三角形，，
.
综上：当时，；当时，.
18.（17分）
【解析】（1）由正弦定理可得，
又，
所以，
又，
所以，即，又，所以；
（2）若选条件①：
因为为的内心，所以，
由，得
因为，所以，
所以，即，
所以.
当且仅当时取面积最小值.
若选条件②：
因为为的垂心，且，所以，
故，即，
又，
即，所以
所以.
当且仅当时取面积最小值.
若选条件③：
因为为的重心，且，所以，
又，故，
即，
即，所以
所以.
当且仅当时取最大值.
19.（17分）
【解析】（1）在正四棱锥中，，，
则正四棱锥侧面的高为，
所以正四