江西省萍乡市2025届高三下学期二模考试数学试卷.docx
江西省萍乡市2025届高三下学期二模考试数学试卷
一、选择题
1．已知一组数据为:123,117,117,121,122,120,116,114,120,119,则这组数据的75%分位数是()
A.114 B.115 C.120.5 D.121
2．过点作圆的切线,记其中一个切点为A,则()
A.16 B.4 C.21 D.
3．已知等差数列满足:,则的公差为()
A.1 B.2 C. D.
4．在直三棱柱中,,,则直线与所成角的大小为()
A. B. C. D.
5．已知点及抛物线上一点Q,若线段的垂直平分线经过C的焦点,则Q的横坐标为()
A.3 B.4 C.5 D.6
6．将六个连续的整数随机排成一行,则从左到右先递增再递减的排列方式有()
A.720种 B.120种 C.32种 D.30种
7．在中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若,,则面积的最大值为()
A.3 B. C. D.
8．已知定义在R上的函数满足:,且,,都有恒成立,则的最大值为()
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．已知全集,集合,,且满足:,,则下列说法正确的为()
A. B.
C.集合A可能是 D.
10．已知定义在R上的函数满足:,且当时,,则下列说法正确的为()
A.的最小正周期为2 B.在上单调递增
C.在上单调递增 D.对,都有
11．若数列的前n项中,最大项为,最小项为,则称数列为的“极差数列”.下列关于极差数列的说法正确的为()
A.若数列是等差数列,则它的极差数列也是等差数列
B.若数列的极差数列是等差数列,则也是等差数列
C.数列的极差数列可能为等比数列
D.数列的极差数列的极差数列仍是
三、填空题
12．若复数z满足:,其中i为虚数单位,则________.
13．若随机事件A,B满足:,,,则________.
14．已知三棱锥外接球的球心O为棱的中点,若,,则该三棱锥体积的最大值为________.
四、解答题
15．DeepSeckApp于2025年1月11日正式发布并上线,它凭借创新的功能和极富吸引力的用户体验,在社交媒体上引发了广泛的讨论和分享,形成了强大的口碑效应.DeepSeek公司最近开发了一款新的推荐算法,为了测试该算法在不同年龄段用户群体中的效果,公司进行了一项调查,调查样本的统计结果如下表所示（单位:人）.
效果
18-30岁用户人数
31-50岁用户人数
有效
120
无效
70
总计
150
150
（1）求出x,y的值,并在显著性水平为的情况下,判断推荐算法的效果是否与用户年龄段有关;
（2）以频率估计概率,在所有推荐算法有效的人群中抽取3人,求恰有2人为31-50岁用户年龄段的概率.
附:.
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
16．如图,在几何体中,四边形与均为菱形,,且.
（1）求证:平面平面;
（2）设点P满足,直线与平面所成角的正弦值为,求实数的值.
17．已知函数.
（1）证明:函数有且只有一个极值点;
（2）若关于x的方程在区间上恰有两个实数根,求实数b的取值范围.
18．已知椭圆的焦距为,离心率为,点在上.
（1）求椭圆的标准方程;
（2）若点G在椭圆上,点H在圆上,直线为和C的公切线,求线段的长度;
（3）直线交椭圆于M,N两点,交y轴于点D.T为直线l上一点,满足,其中O为坐标原点,过点D作直线的垂线交于点Q,问是否存在一点R,使得的长度为定值?若存在,求出点R的坐标和该定值;若不存在,请说明理由.
19．已知,n为正整数,对于函数,若对任意的,都有,则称为次切比雪夫函数.例如:因为,所以为二次切比雪夫函数.
（1）求;
（2）证明:对任意正整数n,都有;
（3）若函数有一个绝对值不大于1的零点,证明:所有零点的绝对值都不大于1.
参考答案
1．答案：D
解析：共10个数据,按顺序排列为:114,116,117,117,119,120,120,121,122,123,
,
则第75%分位数是第8个数据121,
故选:D.
2．答案：B
解析：圆的圆心,半径,
则,
所以.
故选:B
3．答案：D
解析：设等差数列的公差为d,
由,
可知当时,则有,
当时,则有,
解得,
所以,
解得.
故选:D.
4．答案：C
解析：
由条件可如图建系,设,
则,,,,
则,,
设直线与所成角为,
所以,
所以,
故选:C
5．答案：B
解析：抛物线焦点坐标为,
设,则P,Q中点坐标为:,
由线段的垂直平分线经过C的焦点,
可得:,
解得:,
所以Q的横坐标为4,
故选:B
6．答案：D
解析：六个连续的整数随机排成先递增再递减的单峰