运筹学课件：非线性规划.pptx
5/9/2025非线性规划1
CONTENTS目录5/9/20255.1概述5.2非线性规划问题的解5.3凸函数和凸规划5.4下降迭代算法5.5一维搜索5.6无约束极值问题的求解算法5.7约束极值问题的最优性条件5.8约束极值问题的求解算法2
5.1概述
例5.1曲线拟合问题??5/9/20255.1.1非线性规划问题举例?(1)4
5/9/20255.1.1非线性规划问题举例解:按题意，根据最小二乘原理，有?5
例5.3构件设计问题?5/9/20255.1.1非线性规划问题举例6
5/9/20255.1.1非线性规划问题举例?7
5/9/20255.1.2非线性规划数学模型非线性规划数学模型的一般形式是：—可行域—特别当R=En,称为无约束优化问题8
5.2非线性规划问题的解
5/9/20255.2.1解（极值点）的定义?10
5/9/20255.2.1解（极值点）的定义?11
5/9/20255.2.2多元函数极值点的存在条件?利用可行方向的定义，下面给出局部极小点所满足的条件。12
5/9/20255.2.2多元函数极值点的存在条件?13
5/9/20255.2.2多元函数极值点的存在条件?(b)局部极大点(b)局部极大点(c)鞍点?01414
5/9/20255.2.2多元函数极值点的存在条件?15
5/9/20255.2.2多元函数极值点的存在条件?16
5.3凸函数和凸规划
5/9/20255.3.1凸函数的定义?若将上述式中的不等号反向，那么就得到凹函数（ConcaveFunction）和严格凹函数（StrictConcaveFunction）的定义。18
5/9/20255.3.1凸函数的定义19
5/9/20255.3.2凸函数的性质??20
5/9/20255.3.2凸函数的性质?21
5/9/20255.3.3凸函数的判定条件?要判定一个函数是否是凸函数，可以直接根据5.3.1节的定义。而如果函数是可微的，则还有下面两个性质。22
5/9/20255.3.4凸规划?性质5.7凸规划的最优解具有下述特殊性质：（1）如果最优解存在，那么最优解集为凸集；（2）任何局部最优解也就是全局最优解；（3）如果目标函数为严格凸函数且最优解存在，那么最优解唯一。23
5.4下降迭代算法
5/9/20255.4.1下降迭代算法?25
5/9/20255.4.2下降迭代算法的步骤?26
5.5一维搜索
5/9/2025黄金分割法（0.618法）
TheGoldenSectionSearchMethod基本思想：对称取点，等比例的缩小区间，除第一次外，每次只需计算一次函数值，可使区间缩小。b0a0t11t12b1a1f(t11)f(t12)t22t215.5.1斐波那契法和黄金分割法28
5/9/20255.5.1斐波那契法和黄金分割法特点：具有相同的区间缩短率0.618；精度不如Fobonacci分数法；适用于不可微、不连续函数，可以先用“成功-失败”法搜索到一个包含极小点的区间。29
5/9/2025斐波那契法
TheFibonacciSearchMethod问题：如何选择实验点，计算n次函数值能得到多大的区间缩短率？换句话说，计算n次函数值能将多大的区间缩短到1。答案：若对称取点，利用上次已有的实验点的函数值，计算n次函数值可获得1/Fn区间缩短率。5.5.1斐波那契法和黄金分割法30
5/9/20255.5.1斐波那契法和黄金分割法Fibonacci数列(FibonacciSequence)F0=1,F1=1,F2=2,F3=3,F4=5,……Fk=Fk-1+Fk-2特点：需要预先确定迭代次数n;在计算n次函数值情况下，该方法获得最大的区间缩短率，精度最高；适用于不可微、不连续函数。31
5/9/20255.5.2牛顿法（切线法）基本思想：适合二阶连续可微的函数，求导数为0的方程根。特点适用于二阶可微函数；最快的收敛速度，二阶收敛速度；初始点要求接近极小点；可与“成功-失败”法联合使用。32
5/9/2025
5.5.3函数逼近法基本思想：在极小点附近以插值多项式来逼近目标函数的一种方法。事实上，上面的牛顿法就是在附近用一阶Taylor展式来近似目标函数的。函数逼近法（插值法）33
5.6无约束极值问题的求解算法
5/9/2025最速下降法（梯度法）
TheSteepestdescentmethod（TheGradientMethod））基本思想：