广东省湛江市第二十一中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题.docx
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广东省湛江市第二十一中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设集合，，则（???）
A． B． C． D．
2．已知复数z满足，则（????）
A． B． C． D．
3．已知等差数列的前项和为，若，，则（???）
A．12 B．14 C．42 D．84
4．已知向量，，且与垂直，则k的值为（???）
A． B． C．1 D．2
5．下列求导运算正确的是（????）
A． B．
C． D．
6．已知函数，则曲线在点处的切线方程为（???）
A． B． C． D．
7．已知动圆C与圆内切，与圆外切，则动圆圆心C的轨迹方程为（????）
A． B．
C． D．
8．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，为的中点，且，，则的离心率为（???）
A． B． C． D．
二、多选题
9．如图是函数的导函数的图象，则下列说法中正确的是（??）
A．是函数的极值点
B．函数在处取得最小值
C．函数在处切线的斜率小于零
D．函数在区间上单调递增
10．已知数列的前项和为，，，则（???）
A．数列是等比数列
B．
C．
D．数列的前项和为
11．已知函数，则（????）
A．的极小值为
B．有两个零点
C．存在使得关于的方程有三个不同的实根
D．的解集为
三、填空题
12．已知抛物线上有一点P到焦点的距离为3，则P到y轴的距离为．
13．已知在等比数列中，，则．
14．已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是．
四、解答题
15．已知公差不为零的等差数列的前项和为，若，且成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
16．已知函数，当时取得极大值.
(1)求的值；
(2)求函数在上的最大值与最小值.
17．如图，圆锥的顶点为，底面圆心为，为底面直径，为底面圆周上异于一点，且四边形是边长为2的正方形．
(1)求证：平面；
(2)若，求二面角的正弦值．
18．若数列的前项和为，且，数列满足
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：数列是等比数列；
(3)设数列满足，其前项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围.
19．已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数的最小值为，求a的值；
(3)证明：当时，．
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《广东省湛江市第二十一中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
B
C
C
C
D
B
C
AD
ACD
题号
11
答案
AC
1．D
【分析】解不等式，明确集合，再求其并集即可.
【详解】由，所以；
由，所以.
所以.
故选：D
2．B
【分析】结合复数的除法运算以及共轭复数的概念即可求出结果.
【详解】由得，所以，
故选：B.
3．C
【分析】根据等差数列的性质先求出，再根据求和公式可求.
【详解】因为数列为等差数列，所以，所以.
所以.
故选：C
4．C
【分析】依据条件，计算坐标，再利用数量积为0计算即可.
【详解】因，，则，
因与垂直，则，得.
故选：C
5．C
【分析】利用基本初等函数的导数关系可判断AB选项；利用导数的运算法则可判断C选项；利用复合函数的求导法则结合导数的运算法则可判断D选项.
【详解】对于A选项，，A错；
对于B选项，，B错；
对于C选项，，C对；
对于D选项，，D错.
故选：C.
6．D
【分析】利用导数的几何意义可求切线的斜率，求出切点坐标，利用点斜式求直线方程即可.
【详解】由得
所以
又，∴切点为
所以曲线在点处的切线方程为，即.
故选：D.
7．B
【分析】设圆C的半径为R，根据题意，得到，根据双曲线的定义，结合题中条件，求出，即可得出结果.
【详解】设圆C的半径为R，由题意可知，
两圆的圆心为：，∴，
可知点C的轨迹为以为焦点，实轴长为2的双曲线的左支，
∴，
则动圆圆心C的轨迹方程为.
故选：B.
【点睛】本题主要考查求轨迹方程，考查双曲线的定义，涉及圆与圆位置关系，属于常考题型.
8．C
【分析】利用椭圆的定义以及的位置关系及长度，构造齐次方程即可解得离心率.
【详解】如下图所示：
因为的中点，且，则，