专题8.7 空间直线、平面的垂直（二）【九大题型】（举一反三）（人教A版2019必修第二册）（解析版）2024-2025学年高一数学举一反三系列（人教A版2019必修第二册）.pdf

专题8.7空间直线、平面的垂直（二）【九大题型】

【人教A版（2019）】

【题型1求二面角】2

【题型2由二面角大小求线段长度或距离】7

【题型3由二面角大小求其他角】12

【题型4垂直的判定】18

【题型5垂直性质定理的应用】22

【题型6求点面、线面距离】25

【题型7求距离】29

【题型8平行关系与垂直关系的综合应用】34

【题型9立体几何中的探索性问题】38

【知识点1二面角】

1．二面角

(1)二面角的定义

①半平面：平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常叫做半平.

②二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个

半平面叫做二面角的.

(2)二面角的表示

①棱为AB，面分别为α，β的二面角记作二面角α-AB-β，如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角

α

-l-β，如图(1).

②若在α，β内分别取不在棱上的点P，Q，这个二面角可记作二面角P-AB-Q，如果棱记作l，那么这

个二面角记作二面角P-l-Q，如图(2).

(3)二面角的平面角

①自然语言

在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平α和β内分别作垂直于棱l的射线OA

和

OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角.

②图形语言

③符号语言

∠AOB叫做二面角α-l-β的平面角.

(4)二面角大小的度量

①二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.平

角是直角的二面角叫做直二面角.

②当二面角的两个半平面重合时，规定二面角的大小是0°；当二面角的两个半平面合成一个平面时，

规定二面角的大小是180°.所以二面角的平面角α的范围是.

2．几何法求二面角

作二面角的平面角的方法：

作二面角的平面角可以用定义法，也可以用垂面法，即在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，

再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角.

【题型1求二面角】

【例1】（24-25高二上·山西运城·期末）如图，在四棱锥−中，已知⊥底，底为

//, ==,=1, ==2

等腰梯形，，的中点为，则平与平所成角的余

弦值为（）

57515751

A．B．C．−D．−

19171917

【解题思路】根据题意判断四边形为平行四边形，得到三角形和三角形为等边三角形，则

⊥，再根据线面垂直判定定理可得∠为平与平所成角的平面角，解三角形即可求得.

,,

【解答过程】取的中点，连接，