2025年中考数学几何模型归纳训练专题42 圆中的重要模型之圆幂定理模型（解析版）.pdf

专题42圆中的重要模型之圆幂定理模型

圆幂定理是一个总结性的定理，是对相交弦定理、切割线定理、割线定理、弦切角定理、托勒密定理

以及它们推论的统一与归纳。可能是在19世纪由德国数学家施泰纳（Steiner）或者法国数学家普朗克雷

（Poncelet）提出的。圆幂定理的用法：可以利用圆幂定理求解与圆有关的线段比例、角度、面积等问题。

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模型1.相交弦模型1

模型2.双割线模型4

模型3.切割线模型6

模型4.弦切角模型9

模型5.托勒密定理模型12

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模型1.相交弦模型

相交弦定理（IntersectingChordsTheorem），经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两线段的积相等。

条件：在圆O中，弦AB与弦CD交于点E，点E在圆O内。

ECEA

结论：CAEBDEÞÞEC×EDEB×EA。

EBED



证明：∵BCBC，∴AD，∵ADAD，∴BC，

ECEA

∴△CAE△BDE，∴，∴ECEDEBEA。

EBED

12024··ABDCABAC4,AE2BE

例．（浙江绍兴模拟预测）四边形内接于圆，对角线交点为，，若、

E

CEBE

都是整数，则的值为．

34

【答案】或

AB=AC=4AE=2ADB=ADC

【详解】解：∵，，∴∠∠，

ABC=ADCADB=ABCBAD=BAEABDAEB

∵∠∠，∴∠∠，又∠∠，∴△∽△，

ABAD4AD

∴，即，∴AD=8，∴DE=6，

AEAB24

CAE=DBEACE=BDEAECBED

∵∠∠，∠∠，∴△∽△，

AECE2CE

BE·CE=12BECE

∴，即，∴，∵，都是整数，

BEDEBE6

BECE3426112

则和可取的值为，或，或，；

AB=AC=4BCAB+AC=8BC=3+4=7BE3434

∵，∴＜，∴，∴的值为或，故答案为：或．

22023··

例．（河南信阳三模）相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．

(1)“”“”

为了说明相交弦定理正确性，需要对其进行证明，如下给出了不完整的已知求证，请补充完整，并写

①CD______________

出证明过程．已知：如图，弦，交于点，求证：．

ABP

(2)②