反比例函数与一次函数综合(教师版).doc

反比例函数与一次函数综合

学习目标:能够应用一次函数与反比例函数的图象与性质分析解决一次函数与反比例函数的综合题。

重点：熟练应用一次函数与反比例函数的图象与性质进行解题

难点：进一步利用数形结合的思想方法进行解题

一、知识回顾

1．若反比例函数与一次函数y＝3x＋b都经过点(1，4)，则kb＝________．

第4题题2．反比例函数的图象一定经过点(－2，________)．

第4题题

3．若点A(7，y1)，B(5，y2)在双曲线上，则y1、y2中较小的是________．

4．如图，反比例函数的图象在第一象限内经过点A，过点A分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别P、Q，若矩形APOQ的面积为8，则这个反比例函数的解析式为________．

二、学习新知：

1.如图，已知A(n，-2)，B(1，4)是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y=的图象的两个交点，直线AB与y轴交于点C．

(1)求反比例函数和一次函数的关系式；

(2)求△AOC的面积；

(3)求不等式kx+b-0的解集(直接写出答案)．

2．已知：如图，一次函数的图像经过第一、二、三象限，且与反比例函数的图像交于A、B两点，与y轴交于点C，与x轴交于点D．OB＝，tan∠DOB＝．（1）求反比例函数的解析式：

（2）设点A的横坐标为m，△ABO的面积为S，求S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；

（3）当△OCD的面积等于时，试判断过A、B两点的抛物线在x轴上截得的线段能否等于3．如果能，求此时抛物线的解析式；如果不能，请说明理由．

解：（1）过点B作BH⊥x轴于点H．………1分

在Rt△OHB中，HO＝3BH．………………2分

由勾股定理，得BH2＋HO2＝OB2．又∵?OB＝．∴?BH2＋（3BH）2＝（）2．

∵BH＞0，∴BH＝1，HO＝3．∴点B（－3，－1）．………3分

设反比例函数的解析式为（k≠0）．

∵点B在反比例函数的图象上，∴反比例函数的解析式为．……4分

（2）设直线AB的解析式为y＝k2x＋b（k≠0）．由点A在第一象限，得m＞0．

又由点A在函数的图像上，可求得点A的纵坐标为．

∵点B（－3，－1），点A（m，），

∴解关于k2、b的方程组，得

∴直线AB的解析式为．………5分

令y＝0，求得点D的横坐标为x＝m－3．过点A作AG⊥x轴于点G．

S＝S△BDO＋S△ADO＝DO·BH＋DO·GA＝DO（BH＋GA）＝．

由已知，直线经过第一、三、四象限，∴b＞0时，即．

∵m＞0，∴3－m＞0．由此得0＜m＜3．………6分

∴S＝（3－m）（1＋）．即?S＝（0＜m＜3）………7分

（3）过A、B两点的抛物点线在x轴上截得的线段长不能等于3．

证明如下：

S△OCD＝DO·OC＝︱m－3︱·＝．

由S△OCD＝，得．解得m1＝1，m2＝3．

经检验，m1＝1，m2＝3都是这个方程的根．∵0＜m＜3，

∴m＝3不合题意，舍去，∴A（1，3）．……………8分

设过A（1，3）、B（－3，－1）两点的抛物线的解析式y＝ax2＋bx＋c（a≠0）．

∴由此得

即y＝ax2＋（1+2a）x+2－3a．…………………9分

设抛物线与x轴两交点的横坐标为x1，x2．

则x1＋x2＝，x1·x2＝．令︱x1－x2︱＝3．

则（x1－x2）－4x1x2＝9．即．

整理，得7a2－4a＋1＝0．∵Δ＝（－4）2－4×7×1＝－12＜0，

∴方程7a2－4a＋1＝0无实数根．

因此过A、B两点的抛物线在x轴上截得的线段长不能等于3．………………10分

三、巩固知识

1、如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为（2，3）.双曲线的图象经过BC的中点D，且与AB交于点E，连接DE.

（1）求k的值及点E的坐标；

（2）若点F是OC边上一点，且△FBC∽△DEB，求直线FB的解析式.

E

E

O

F

C

D

B

A

x

y

2、如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和，与y轴交于点C.（1）=，=；（2）根据函数图象可知，当＞时，x的取值范围是；

（3）过点A作AD⊥x轴于点D，点P是反比例函数在第一象限的图象上一点.设直线OP与线段AD交于点E，当：=3：1时，求点P的坐标.

3、如图，直线与反比例函数的图象交