河北省衡水市武邑中学2025届高三下第三次周考数学试题含解析.doc
河北省衡水市武邑中学2025届高三下第三次周考数学试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知双曲线的中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于，两点，若中点的横坐标为，则此双曲线的方程是
A． B．
C． D．
2．已知双曲线的一个焦点为，点是的一条渐近线上关于原点对称的两点，以为直径的圆过且交的左支于两点，若，的面积为8，则的渐近线方程为（）
A． B．
C． D．
3．设，则复数的模等于()
A． B． C． D．
4．直线x-3y+3=0经过椭圆x2a2+y2b
A．3-1 B．3-12 C．
5．将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案种数是()
A．18种 B．36种 C．54种 D．72种
6．展开式中x2的系数为()
A．－1280 B．4864 C．－4864 D．1280
7．已知，是两条不重合的直线，是一个平面，则下列命题中正确的是（）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
8．M、N是曲线y=πsinx与曲线y=πcosx的两个不同的交点,则|MN|的最小值为()
A．π B．π C．π D．2π
9．如果直线与圆相交，则点与圆C的位置关系是（）
A．点M在圆C上 B．点M在圆C外
C．点M在圆C内 D．上述三种情况都有可能
10．宁波古圣王阳明的《传习录》专门讲过易经八卦图，下图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（“—”表示一根阳线，“——”表示一根阴线）．从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有四根阴线的概率为（）
A． B． C． D．
11．已知符号函数sgnxf（x）是定义在R上的减函数，g（x）＝f（x）﹣f（ax）（a＞1），则（）
A．sgn[g（x）]＝sgnx B．sgn[g（x）]＝﹣sgnx
C．sgn[g（x）]＝sgn[f（x）] D．sgn[g（x）]＝﹣sgn[f（x）]
12．已知各项都为正的等差数列中，，若，，成等比数列，则（）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若一组样本数据7，9，，8，10的平均数为9，则该组样本数据的方差为______.
14．集合，，则_____.
15．在数列中，已知，则数列的的前项和为__________.
16．点P是△ABC所在平面内一点且在△ABC内任取一点，则此点取自△PBC内的概率是____
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图1，与是处在同-个平面内的两个全等的直角三角形，，，连接是边上一点，过作，交于点，沿将向上翻折，得到如图2所示的六面体
（1）求证：
（2）设若平面底面，若平面与平面所成角的余弦值为，求的值；
（3）若平面底面，求六面体的体积的最大值.
18．（12分）在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数）.以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系.
（1）求曲线C的极坐标方程；
（2）直线（t为参数）与曲线C交于A，B两点，求最大时，直线l的直角坐标方程.
19．（12分）表示，中的最大值，如，己知函数，.
（1）设，求函数在上的零点个数；
（2）试探讨是否存在实数，使得对恒成立？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.
20．（12分）如图，在中，，，点在线段上.
（1）若，求的长；
（2）若，，求的面积.
21．（12分）已知函数.
（1）求证：当时，；
（2）若对任意存在和使成立，求实数的最小值.
22．（10分）已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，且曲线的左焦点在直线上.
（Ⅰ）求的极坐标方程和曲线的参数方程；
（Ⅱ）求曲线的内接矩形的周长的最大值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．D
【解析】
根据点差法得，再根据焦点坐标得，解方程组得，，即得结果.
【详解】
设双曲线的方程为，由题意可得，设，，则的中点为，由且，得，，即，联立，解得，，故所求双曲线的方程为．故选D．
本题主要考查利用点差法求双曲线标准方程，考查基本求解能力，属于中档题.
2．B
【解析】
由双曲线的对称性可得即，又，从而可