重庆市渝西中学2024−2025学年高一下学期3月月考 数学试题（含解析）.docx
重庆市渝西中学2024?2025学年高一下学期3月月考数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．下列各组向量中，可以作为基底的是（????）
A．， B．，
C．， D．，
2．已知，，，则（???）
A．A、B、D三点共线 B．A、B、C三点共线
C．B、C、D三点共线 D．A、C、D三点共线
3．已知方向相同，且，则等于（）
A．16 B．256 C．8 D．64
4．已知向量，，则在方向上的投影向量的坐标为（????）
A． B． C． D．
5．在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则（????）
A． B． C．2 D．
6．在中，为边上的中线，，则（????）
A． B．
C． D．
7．如图，在三角形中，已知边上的两条中线相交于点，则（????）
A． B． C． D．
8．在中，内角A，，的对边分别为，，，已知，则（???）
A．4049 B．4048 C．4047 D．4046
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知向量和实数，下列说法正确的是（????）
A．若，则或
B．若且，则当时，一定有与共线
C．若
D．若且，则
10．已知函数部分图象如图所示，则下列说法正确的是（????）.
A．
B．的图象关于点对称
C．在单调递增
D．将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象
11．若的内角的对边分别是，外接圆的半径为，若，，，则下列说法正确的是（????）
A． B．
C． D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知向量，，若，则.
13．在中，角A，B，C对边分别为a，b，c，若，且，则三角形的形状为.
14．已知是面积为的等边三角形，且其中实数满足，则的最小值为.
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知，，且与的夹角为120°，求：
(1)；
(2)若向量与平行，求实数的值．
16．在中，角的对边分别为，且.
(1)求；
(2)若，求的面积.
17．某海域的东西方向上分别有两个观测点（如图），它们相距海里.现有一艘轮船在点发出求救信号，经探测得知点位于点北偏东，点北偏西，这时，位于点南偏西且与点相距海里的点有一救援船，其航行速速为海里/小时.
(1)求点到点的距离；
(2)若命令处的救援船立即前往点营救，求该救援船到达点需要的时间.
18．在平面四边形中，，且.
(1)中，设角、、的对边分别为、、，若.
①当时，求的值；
②当时，求ac的最大值.
(2)若，当变化时，求长度的最大值.
19．定义函数的“源向量”为，非零向量的“伴随函数”为，其中为坐标原点．
(1)若向量的“伴随函数”为，求在的值域；
(2)若函数的“源向量”为，且以为圆心，为半径的圆内切于正（顶点恰好在轴的正半轴上），求证：为定值；
(3)在中，角的对边分别为，若函数的“源向量”为，且已知，求的取值范围．
参考答案
1．【答案】B
【详解】对于A，，A不是；
对于B，由，得不共线，B是；
对于C，，向量共线，C不是；
对于D，，向量共线，D不是.
故选B．
2．【答案】A
【详解】，，，
，，与共线，
因为两向量有一个公共点B，、B、D三点共线，故A正确．
由，，可得，
所以不存在使得，故A、B、C三点不共线，故B不正确；
由，，可得，
所以不存在使，故B、C、D三点不共线，故C不正确；
因为，，
所以，
又，可得，
所以不存在使，故A、C、D三点不共线，故D不正确；
故选A.
3．【答案】A
【详解】因
,则.
故选A.
4．【答案】B
【详解】，，
所以在方向上的投影向量为
故选B.
5．【答案】B
【详解】根据正弦定理可得，
即，解得，
故选B.
6．【答案】A
【详解】
因为，所以
由已知可得，，
所以，，
所以，.
故选A.
7．【答案】D
【详解】法一：分别是的中点，.
与的夹角等于，
，
则；
法二：以为轴，过点作与垂直的直线为轴建立平面直角坐标系，则
，
则
；
法三：在中，由余弦定理，
又因为P为的重心，则，
在中再由余弦定理，
在中由余弦定理，
在中，由余弦定理，则
.
故选D.
8．【答案】A
【详解】在中，，可得，
即，故，
即，所以，
所以，即，所以
故.
故选A.
9．【答案】BC
【详解】对于A选项：若，则或或，A错误；
对于B选项：根据共线定理，若且，则当且仅当有唯一实数，使得时，一定有与共线，B正确；
对于C选项：当与均不是零向量时，由，可得，即，
故与的夹角为或，可得；
当与至少有一个是零向量时，显然；
综上所述：，C正确；
对于D选项：∵且，则，
∴，但不能确定，D错误．
故选BC．
10．【答案】ACD
【详解】根据图象可知，即，
所以，解得，所以A选项正确，
此时，
将代入得，即，
所以，解得，
又，所以，，
B选项，，所