高中数学 第8讲函数的性质（上）.doc

PAGE4

高一·联赛班·第3讲·学生版

PAGE5

高一·联赛班·第3讲·学生版

第三讲函数的基本性质

本讲概述

函数的性质通常是指函数的定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性、周期性、对称性等等，在解决与函数有关的(如方程、不等式等)问题时，巧妙利用函数及其图象的相关性质，可以使得问题得到简化，从而达到解决问题的目的.

I．函数的定义

设A，B都是非空的数集，f是从A到B的一个对应法则.那么，从A到B的映射f：A→B就叫做从A到B的函数.记做y=f(x)，其中x∈A，y∈B，原象集合，A叫做函数f(x)的定义域，象的集合C叫做函数的值域，显然CB.

II．函数的性质

（1）函数的增减性设函数f(x)在区间D′上满足：对任意x1,x2∈D′，并且x1x2时，总有f(x1)f(x2)(f(x1)f(x2)),则称f(x)在区间D′上的增函数（减函数），区间D′称为f(x)的一个单调增（减）区间.

（2）函数的奇偶性设函数f(x)的定义域为D，且D是关于原点对称的数集.若对任意的x∈D，都有f(－x)=－f(x)，则称f(x)是奇函数；若对任意的x∈D，都有f(－x)=f(x),则称f(x)是偶函数.

III．函数的周期性

对于函数f(x),如果存在一个不为零的正数T，使得当x取定义域中的每个数时，f(x+T)=f(x)总成立，那么称f(x)是周期函数，T称做这个周期函数的周期.如果函数f(x)的所有周期中存在最小值T0，称T0为周期函数f(x)的最小正周期.

函数的单调性、奇偶性、周期性是最为重要和常用的.本讲将分三个板块来分别探讨其应用.在很多时候，我们可能需要综合运用这几个性质来解决某个复杂的问题.

例题精讲

板块一函数的单调性

函数单调性问题主要包括：

确定某个具体函数的单调区间（或者证明函数在给定区间上的单调性）；这主要通过图象法、不等式方法来给出证明；有时我们也基于某些熟知的函数的单调性得到所给函数的单调性；以后我们学习了导数方法之后会发现导数方法才是解决函数单调性问题的终极利器；

对一个抽象函数利用单调性来解题；

主动构造某个单调函数来化简复杂的不等式问题；

函数在区间上是增函数，求的取值范围.

求函数的单调区间，并求它的最小值

已知(3x＋y)2001＋x2001＋4x＋y＝0，求4x＋y的值.

解不等式

已知，且a,b,c均为正实数，求证：

板块二函数的奇偶性与对称性

证明函数的奇偶性常需要两个步骤：1、说明函数定义域关于原点对称；2、利用奇偶函数的定义证明所给函数满足此形式.

对于抽象函数，发现它满足奇偶性之后我们常利用x轴正向上某点与它的对称点所对应的函数值之间的关系来沟通条件与结论所求的函数值之间的联系.

在x=0处有定义的奇函数必过原点，这个简单的性质往往会给我们多增加一个条件.

偶函数实际是关于y轴对称的函数，推而广之，我们如果能证明函数关于某直线x=t对称，同样也可以求得一系列新的函数值.

设，其中a,b,c均为实常数，且，则=（）.

证明：任一定义域关于原点对称的函数都可以表示为一个奇函数与一个偶函数的和.

已知奇函数f(x)在定义域（-1,1）内单调递减，当m为何值时，必然成立？

（2010年浙江省高中数学夏令营-7）不等式的解集为.

已知定义在实数集上的函数f(x)，对一切实数x都有f(x＋1)＝f(2－x)成立，若f(x)＝0仅有101个不同的实数根，那么所有实数根的和为()

A.150 B. C.152 D.

板块三函数的周期性

函数的周期性的问题通常以下列形式命题：对某个抽象函数结合单调性与奇偶性定出它的周期并求某个特定的函数值，通常以选填形式出现；

设f(x)是R上的奇函数，且f(x＋3)＝－f(x)，当时，f(x)＝x，则f(2003)＝()

A.－1 B.0 C.1 D.2003

设是定义在R上的函数，且满足，

求证为奇函数且为周期函数.

已知n为正整数，x为实数，

（1）证明函数是周期为的函数；

（2）确定与的大小关系.

大显身手

已知函数（x∈R，x≠1）的递增区间是

（A）x≥2 （B）x≤0或x≥2

（C）x≤0 （D）x≤或x≥

设f(x)＝x4＋ax3＋bx2＋cx＋d，f⑴＝1，f⑵＝2，f⑶＝3，求[f⑷＋f(0)]的值.（）

已知f(x)是上的减函数，若成立，求的取值范围.

设f(x)对任意实数x满足且方程恰有6个不同实根，求此六根之和.

已知是定义在R上的函数，且.证明它是周期函数并在条件下求之值.

求

学习之外

陶哲轩谈什么是好数学（续2）

陶哲轩谈什么是好数学（续2）

数学品质这一概念是一个高维的