2025年北师大版数学九年级上册知识点归纳总结.docx
北師大版-数學九年级上册知识點归纳总結
第壹章特殊的平行四边形
壹、平行四边形
1.平行四边形的定义:两组對边分别平行的四边形叫做平行四边形。
2.平行四边形的性质
（1）平行四边形的對边平行且相等。（對边）
（2）平行四边形相邻的角互补，對角相等（對角）
（3）平行四边形的對角线互相平分。（對角线）
（4）平行四边形是中心對称图形，對称中心是對角线的交點。
常用點：
（1）若壹直线過平行四边形两對角线的交點，则這条直线被壹组對边截下的线段的中點是對角线的交點，并且這条直线二等分此平行四边形的面积。
（2）推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。
3.平行四边形的鉴定
（1）定义：两组對边分别平行的四边形是平行四边形。（對边）
（2）定理1：两组對边分别相等的四边形是平行四边形。（對边）
（3）定理2：壹组對边平行且相等的四边形是平行四边形。（對边）
（4）定理3：两组對角分别相等的四边形是平行四边形。（對角）
（5）定理4：對角线互相平分的四边形是平行四边形。（對角线）
4.两条平行线的距离
两条平行线中，壹条直线上的任意壹點到另壹条直线的距离，叫做這两条平行线的距离。注意：平行线间的距离到处相等。
5.平行四边形的面积:?S平行四边形=底边長×高=ah
二、菱形
1.菱形的定义：有壹组邻边相等的平行四边形叫做菱形
2.菱形的性质
（1）菱形的四条边相等，對边平行。（边）
（2）菱形的相邻的角互补，對角相等。（對角）
（3）菱形的對角线互相垂直平分，并且每壹条對角线平分壹组對角。（對角线）
（4）菱形既是中心對称图形又是轴對称图形；對称中心是對角线的交點（對称中心到菱形四条边的距离相等）；對称轴有两条，是對角线所在的直线。
3.菱形的鉴定
（1）定义：有壹组邻边相等的平行四边形是菱形。
（2）定理1：四边都相等的四边形是菱形。（边）
（3）定理2：對角线互相垂直的平行四边形是菱形。（對角线）
（4）定理3：對角线垂直且平分的四边形是菱形。（對角线）
4.菱形的面积：S菱形=底边長×高=两条對角线乘积的二分之壹
三、矩形
1.矩形的定义:有壹种角是直角的平行四边形叫做矩形。
2.矩形的性质
（1）矩形的對边平行且相等。（對边）
（2）矩形的四個角都是直角。（内角）
（3）矩形的對角线相等且互相平分。（對角线）
（4）矩形既是中心對称图形又是轴對称图形；對称中心是對角线的交點（對称中心到矩形四個顶點的距离相等）；對称轴有两条，是對边中點连线所在的直线。
3.矩形的鉴定
（1）定义：有壹种角是直角的平行四边形是矩形。
（2）定理1：有三個角是直角的四边形是矩形。（角）
（3）定理2：對角线相等的平行四边形是矩形。（對角线）
推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的二分之壹。
4.矩形的面积:S矩形=長×宽=ab
四、正方形
1.正方形的定义：有壹组邻边相等，并且有壹种角是直角的平行四边形叫做正方形。
2.正方形的性质
（1）正方形四条边都相等，對边平行。（边）
（2）正方形的四個角都是直角（角）
（3）正方形的两条對角线相等，并且互相垂直平分，每壹条對角线平分壹组對角（對角线）
（4）正方形既是中心對称图形又是轴對称图形；對称中心是對角线的交點；對称轴有四条，是對角线所在的直线和對边中點连线所在的直线。
3.正方形的鉴定
（1）定义：有壹组邻边相等，并且有壹种角是直角的平行四边形叫做正方形。
（2）定理1：有壹组邻边相等的矩形是正方形。
（3）定理2：對角线互相垂直的矩形是正方形。
（4）定理3：有壹种角是直角的菱形是正方形。
（5）定理4：對角线相等的菱形是正方形。
（6）定理5：對角线垂直且相等的平行四边形是正方形。
鉴定壹种四边形是正方形的重要根据是定义，途径有两种：
（1）先证它是矩形，再证它是菱形。
（2）先证它是菱形，再证它是矩形。
4.正方形的面积：设正方形边長為a，對角线長為b，则
五、有关中點四边形問題的知识點：
（1）顺次连接任意四边形的四边中點所得的四边形是平行四边形；
（2）顺次连接矩形的四边中點所得的四边形是菱形；
（3）顺次连接菱形的四边中點所得的四边形是矩形；
（4）顺次连接等腰梯形的四边中點所得的四边形是菱形；
（5）顺次连接對角线相等的四边形四边中點所得的四边形是菱形；
（6）顺次连接對角线互相垂直的四边形四边中點所得的四边形是矩形；
（7）顺次连接多角线互相垂直且相等的四边形四边中點所得的四边形是正方形。
第二章壹元二次方程
壹、壹元二次方程
1.壹元二次方程定义
具有壹种未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做壹元二次方程。
2.壹元二次方程的壹般形式
ax2+bx+c=0(a≠0)，它的特性是：等式左边是壹种有关未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中ax2叫做二次项，a叫做二次