现代控制原理 第九章 习题讲解学习资料.pptx

线性系统状态空间习题讲解

田泽鑫

132603

2025-4-25

解：（1）

（2）

得，

说明：系统的状态空间表达式不具有唯一性。然而，描述同一状态空间的状态表达式之间一定存在着某种线性变换关系。这是整个第九章的各种标准型（可控，可观）的之间转换的研究主线！

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解：可控标准型表达式为：

可观标准表达式为：

此处可利用可控标准型和可观标准互为转置的关系，快速得到互相转换

分析：先由微分方程得到传递函数，再由传递函数直接写出可控标准型与可观标准型。

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可控标准型的状态变量图为

可观标准型的状态变量图为

从此题可复习一下如何绘制状态变量图，及两图之间存在的倒置关系。

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例3：已知差分方程

试列写可控标准型(A为友矩阵)离散动态方程，并求出u(k)=1时的系统响应。给定y(0)=0，y(1)=1。

解（1）可控标准型为：

（2）求初始状态x(0)=[a,b]T

由y(0)=0，y(1)=1，u(k)=1。可得：

分析：先由差分方程建立离散动态方程，再利用递推法求解离散系统动态方程。

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带入状态方程依次可类推，得

由y(0)=0，y(1)=1，u(k)=1。可得：

y(2)=2u(1)+3u(0)-3y(1)-3y(0)=2+3-3-0=2

此题编者设计目的是由状态方程求解，难点在初始状态x(0)的求解

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例4：已知线性定常系统的齐次状态方程为

试确定与状态X(t)=[25]T相应的初始状态X(0)。

(2)用线性变换法求状态转移矩阵Φ(t)：

由A为友矩阵且系统特征值互异，故可取变换阵

变换阵P可将系统矩阵A化为对角线标准型

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由以上可得系统状态转移矩阵为

(3)确定初始状态X(0).

由齐次状态方程的解

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由已知条件：X(t)=[25]T

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例5:确定使下列系统状态完全能控的待定参数的a，b，c取值范围

解：能控性判别阵为

系统完全能控必有dets≠0成立（此时rankS=3），即

系统完全可控时参数取值范围：ac≠0，b任意。

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（2）若应用秩判据，通过计算dets≠0来求，理论上可行，但此题很难从dets≠0中解出a,b,c的取值范围，计算很困难，故考虑使用PBH秩判据。

令det(SI-A)=0,求特征值得

故特征值为：λ=18（三重）

当λ=18时

因为第1列与第2列线性相关，第3列为0，故不管a,b,c取何值，rank[sI–AB]最大为2，所以：a,b,c为任何值都不能控。

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分析：列写输出可控性判据方程，利用判据判定，

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解得

(2)根据状态转移矩阵性质

(3)求特征值

因为特征值均为负实根，所以系统渐进稳定

(4)可控性判别矩阵为

所以系统不完全可控。

谢谢！

2025-4-25