2025届福建省莆田一中等中学高三3月零次考试数学试题试卷含解析.doc
2025届福建省莆田一中等中学高三3月零次考试数学试题试卷
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若双曲线：（）的一个焦点为，过点的直线与双曲线交于、两点，且的中点为，则的方程为（）
A． B． C． D．
2．设集合，则()
A． B．
C． D．
3．已知直线和平面，若，则“”是“”的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．不充分不必要
4．已知，，由程序框图输出的为（）
A．1 B．0 C． D．
5．已知函数是上的偶函数，是的奇函数，且，则的值为（）
A． B． C． D．
6．已知函数满足，设，则“”是“”的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．设为自然对数的底数，函数，若，则()
A． B． C． D．
8．若函数的图象过点，则它的一条对称轴方程可能是（）
A． B． C． D．
9．在中，为边上的中点，且，则（）
A． B． C． D．
10．如图，在三棱柱中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，.若分别是棱上的点，且，，则异面直线与所成角的余弦值为（）
A． B． C． D．
11．曲线上任意一点处的切线斜率的最小值为（）
A．3 B．2 C． D．1
12．已知命题：R，；命题：R，，则下列命题中为真命题的是（）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知平面向量，，满足||＝1，||＝2，，的夹角等于，且（）?（）＝0，则||的取值范围是_____．
14．从集合中随机取一个元素，记为，从集合中随机取一个元素，记为，则的概率为_______．
15．已知，若，则a的取值范围是______．
16．若变量，满足约束条件则的最大值是______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在中，、、的对应边分别为、、，已知，，.
（1）求；
（2）设为中点，求的长.
18．（12分）已知函数.
（1）解不等式；
（2）记函数的最大值为，若，证明：.
19．（12分）某企业为了了解该企业工人组装某产品所用时间，对每个工人组装一个该产品的用时作了记录，得到大量统计数据．从这些统计数据中随机抽取了个数据作为样本，得到如图所示的茎叶图（单位：分钟）．若用时不超过（分钟），则称这个工人为优秀员工．
（1）求这个样本数据的中位数和众数；
（2）以这个样本数据中优秀员工的频率作为概率，任意调查名工人，求被调查的名工人中优秀员工的数量分布列和数学期望．
20．（12分）已知函数．
（1）若，求函数的单调区间；
（2）若恒成立，求实数的取值范围．
21．（12分）已知函数.
（1）若函数不存在单调递减区间，求实数的取值范围；
（2）若函数的两个极值点为，，求的最小值.
22．（10分）已知等差数列{an}的各项均为正数，Sn为等差数列{an}的前n项和，.
（1）求数列{an}的通项an；
（2）设bn＝an?3n，求数列{bn}的前n项和Tn.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．D
【解析】
求出直线的斜率和方程，代入双曲线的方程，运用韦达定理和中点坐标公式，结合焦点的坐标，可得的方程组，求得的值，即可得到答案.
【详解】
由题意，直线的斜率为，
可得直线的方程为，
把直线的方程代入双曲线，可得，
设，则，
由的中点为，可得，解答，
又由，即，解得，
所以双曲线的标准方程为.
故选：D.
本题主要考查了双曲线的标准方程的求解，其中解答中属于运用双曲线的焦点和联立方程组，合理利用根与系数的关系和中点坐标公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
2．B
【解析】
直接进行集合的并集、交集的运算即可．
【详解】
解：；
∴．
故选：B．
本题主要考查集合描述法、列举法的定义，以及交集、并集的运算，是基础题.
3．B
【解析】
由线面