福建省福州市2024-2025学年高三第三次质量检测数学试题（含答案解析）.docx
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福建省福州市2024-2025学年高三第三次质量检测数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知全集为，，，则图中阴影部分表示的集合是（???）
A． B． C． D．
2．若，则（???）
A．1 B． C．2 D．4
3．已知随机变量，若，则（???）
A． B． C． D．
4．设，则（???）
A．-2 B．-1 C．0 D．1
5．已知菱形的边长为2，为的中点，则（???）
A． B． C． D．3
6．在正方体中，为的中点，为平面与平面的交线，则（???）
A． B． C． D．
7．已知数列是首项和公比均大于0的无穷等比数列，设甲：为递增数列；乙：存在正整数，当时，，则（???）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
8．设为坐标原点，若曲线和曲线上分别存在A，B两点，使得，则的取值范围为（???）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知直线为函数图象的一条对称轴，则（???）
A．的最小正周期为 B．
C． D．的图象关于点对称
10．过点的直线交圆于点P，Q，交圆于点M，N，其中T，P，Q，M，N顺次排列.若，则（???）
A． B． C． D．
11．已知四棱锥的高为2，底面是边长为2的正方形，，则（???）
A．的面积为定值
B．
C．四棱锥表面积的最小值为
D．若四棱锥存在内切球，则该球半径为
三、填空题
12．已知，则.
13．已知椭圆的焦点为，，P为上的一点，若的周长为18，则的离心率为.
14．6根长度相同的绳子平行放置在桌面上，分别将左、右两边的6个绳头各自随机均分成3组，然后将每组内的两个绳头打结，则这6根绳子恰能围成一个大圈的概率为.
四、解答题
15．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)求；
(2)为边上一点，若，且，求的面积.
16．如图，在长方体中，，与交于点，为棱的中点.
??
(1)证明：平面；
(2)设，其中，若二面角的大小为，求.
17．已知函数.
(1)当时，求的极小值；
(2)若存在唯一极值点，证明：.
18．设抛物线的焦点为，过的直线交于A，B两点（在第一象限），当垂直于轴时，.
(1)求的方程；
(2)过且与垂直的直线交于，两点（在第一象限），直线与直线和分别交于P，Q两点.
（i）当的斜率为时，求；
（ii）是否存在以为直径的圆与轴相切？若存在，求，的方程；若不存在，请说明理由.
19．将区间中的全体有理数按一定顺序排列得到数列，规则如下：①，其中正整数与互质，如，；②，当且仅当时，.
(1)写出的前5项；
(2)若，，求；
(3)记的前项和为，证明：.
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《福建省福州市2024-2025学年高三第三次质量检测数学试题》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
B
A
D
D
A
C
BC
ABD
题号
11
答案
ABD
1．C
【分析】由对数函数的性质确定集合，再求交集即可.
【详解】易知.所以.
故选：C.
2．B
【分析】利用复数模的公式求模，再利用模的性质计算即可
【详解】因为，所以.
故选：B.
3．B
【分析】由二项分布的期望和概率性质计算即可.
【详解】，解得，所以.
故选：B.
4．A
【分析】分别令和代入计算即可.
【详解】令易知，
令可得，，
所以.
故选：A.
5．D
【分析】结合图形，由向量的加法法则和数量积的运算律计算即可.
【详解】
，，
所以，
故选：D.
6．D
【分析】设为的中点，则即为所在直线，判断与是异面直线，即可判断A；由，与不垂直，即可判断B；由条件可证得平面，而，可得平面，从而，即可判断C，D.
【详解】设为的中点，连接，
∵为的中点，为的中点，∴，
又∵，∴，
∴四点共面，
∴平面与平面的交线为，则即为所在直线，
∵与是异面直线，即与是异面直线，故A错误；
∵，而在直角中，，则与不垂直，
故与不垂直，即与不垂直，故B错误；
∵平面，平面，∴，
又，，平面，
∴平面，又，
∴平面，即平面，
∵平面，∴，故C错误，D正确，
故选：D.
7．A
【分析】由递增数列的性质结合等比数