湖南省株洲市第十三中学2024-2025学年高三下学期3月模拟考试数学试题.docx

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绝密★★本科目考试启用前

2024—2025学年高三3月模拟考试

数学科目

考生注意：

1．本卷满分150分，考试时间120分钟．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．

4．本试卷主要命题范围：高考范围．

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．

1.已知集合，，则（）

A. B. C. D.

2.下列函数在定义域内既是奇函数又是增函数的是（）

A B.

C. D.

3.已知复数在复平面内所对应的点位于第一象限，且，则复数在复平面内所对应的点位于（）

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

4.某机器上有相互啮合的大小两个齿轮（如图所示），大轮有50个齿，小轮有15个齿，小轮每分钟转10圈，若大轮的半径为，则大轮每秒转过的弧长是（）

A. B. C. D.

5.已知等差数列的公差不为0，前项和为，若，则（）

A. B.数列最小项是

C.的最小值是 D.当时，

6.甲?乙两名乒乓球运动员进行一场比赛，采用7局4胜制（先胜4局者胜，比赛结束），已知每局比赛甲获胜的概率为，则甲第一局获胜并最终以获胜的概率为（）

A. B. C. D.

7.已知点为椭圆上一点，分别为左，右焦点.若半径为的圆与的延长线切于点，与的延长线切于点以及与线段切于点.若，则的离心率为（）

A. B. C. D.

8.已知函数，若方程恰有5个不同的解，则实数a的取值范围是（）

A. B. C. D.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9.已知函数，则下列说法正确的是（）

A.函数的最小正周期为

B.函数最大值为

C.函数的图象关于点对称

D.函数的图象向左平移个单位，得到的函数图象关于轴对称

10.如图，在直三棱柱中，，，E，F，G，H分别为，，，的中点，则下列说法正确的是（）

A. B.，，三线不共点

C.与平面所成角为 D.设，则多面体的体积为1

11.在如图所示的方格图中，去掉以下哪一个方格，剩下的方格图能用总共21个或的矩形方格图完全覆盖（）

A.① B.② C.③ D.④

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12.已知满足，则__________.

13.已知，，成等差数列，若直线与曲线相切，则________．

14.从中任意选取四元数组，满足，则这样的四元数组的个数为__________.（用数字作答）

四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15.已知，，，分别是角，，的对边，的面积．

（1）证明：；

（2）若为的平分线，交于点，且，，求的长．

16.已知抛物线：，过点的直线交抛物线于，两点，且点到抛物线的准线的距离为.

（1）求抛物线的方程；

（2）已知为坐标原点，直线的斜率为，的面积为，求直线的方程.

17.如图，在四棱柱中，，，，，，分别是棱，的中点.

（1）证明：平面

（2）若，直线与平面所成角的正弦值为.

①求四棱柱的体积；

②求平面与平面的夹角的余弦值.

18.已知函数

（1）若曲线在点处的切线在轴上的截距为，求的值；

（2）若函数存在唯一极值点，求的取值范围；

（3）若函数存在极大值，记作，求证：.

（参考结论：当时，.这里表示从0右边逼近表示从0的左边逼近0.）

19.材料一：英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数?统计推断等做出了重要贡献.贝叶斯公式就是他的重大发现，它用来描述两个条件概率之间的关系.该公式为：设是一组两两互斥的事件，，且，，则对任意的事件，有，.

材料二：马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习?自然语言处理?金融领域?天气预测等方面都有着极其广泛的应用.其数学定义为：假设我们的序列状态是，，那么时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态，即.

请根据以上材料，回答下列问题.

（1）已知德国电车市场中，有的车电池性能很好.公司出口的电动汽