2024-2025学年广东省惠州市仲恺中学等五校高一（下）联考数学试卷（4月份）（含答案）.docx
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2024-2025学年广东省惠州市仲恺中学等五校高一（下）4月联考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设平面向量a=(5,k),b=(2,8)，若a⊥b
A.14 B.?14 C.5
2.如果(z?1)i=1，则z+z?=
A.?2 B.?1 C.1 D.2
3.已知在△ABC中，角A，B的对边分别为a，b，若asinA=2,sinB=
A.22 B.2 C.1
4.已知e1，e2是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是(????)
A.a=0，b=e1?e2 B.a=3e1?3
5.在△ABC中，若a=18，b=24，A=45°，则此三角形(????)
A.无解 B.有两解 C.有一解 D.解的个数不确定
6.我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，若BC=a，BA=b，BE=3EF
A.1225a+925b
B.16
7.已知|a|=5，|b|=3，且a?b=?12，则向量
A.43b B.?43b
8.克罗狄斯?托勒密是希腊数学家，他博学多才，既是天文学权威，也是地理学大师.托勒密定理是平面几何中非常著名的定理，它揭示了圆内接四边形的对角线与边长的内在联系，该定理的内容为圆的内接四边形中，两对角线长的乘积等于两组对边长乘积之和.已知四边形ABCD是圆O的内接四边形，且AC=3BD，∠ADC=2∠BAD.若AB?CD+BC?
A.4 B.2 C.3 D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论中错误的为(????)
A.两个有共同起点的单位向量，其终点必相同
B.向量AB与向量BA的长度相等
C.对任意向量a，a|a|是一个单位向量
10.已知△ABC是边长为2的等边三角形，若向量a，b，满足AB=2a，BC=b
A.AC=2a+b B.a?b
11.在△ABC中，sinC2=
A.AB=45 B.△ABC的面积为8
C.CA?BC=12
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.复数z=i2025(1+i)?a为纯虚数，则实数a的值为______．
13.如图，在△ABC中，AN=13NC，P是BN上的一点，若AP=
14.“大美中国古建筑名塔”榴花塔以红石为基，用青砖灰沙砌筑建成.如图，记榴花塔高为OT，测量小组选取与塔底O在同一水平面内的两个测量点A和B，现测得∠OBA=105°，∠OAB=45°，AB=45m，在点B处测得塔顶T的仰角为30°，则塔高OT为______m.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知|a|=4，向量b=(?1,3).
(1)若向量a//b，求向量a的坐标；
(2)
16.(本小题15分)
在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知asinB=32b．
(1)若b=2，c=3，求a的值：
(2)若
17.(本小题15分)
已知A(1,1)，B(m,2)，C(?2,3)，D(?1,n)是复平面上的四个点，其中m，n∈R，且向量BC，AD对应的复数分别为z1，z2．
(1)若z1?z2=1?i，求z1，z2；
18.(本小题17分)
如图，在菱形ABCD中，BE=12BC,CF=2FD．
(1)若EF=xAB+yAD，求
19.(本小题17分)
如图，正方形ABCD的边长为1，P，Q分别为边BC，CD上的点，且AP?AQ=|PQ|．
(1)求∠PAQ的大小；
(2)求△APQ面积的最小值；
(3)某同学在探求过程中发现PQ的长也有最小值，结合(2)
参考答案
1.D?
2.D?
3.C?
4.C?
5.B?
6.B?
7.B?
8.B?
9.ACD?
10.AC?
11.ABD?
12.?1?
13.211
14.15
15.解：(1)|a|=4，设a=(x,y)，
∴x2+y2=16，
∵a/?/b，
∴3x+y=0，
由3x+y=0x2+y2=4，解得x=2，y=?2
16.解：(1)∵asinB=32b，由正弦定理，sinAsinB=32sinB，而sinB≠0，
∴sinA=32，A∈(0,π2)，∴A=π3，
再由余弦定理得，a2=b2+c2?2bccosA=22
17.
?
18.解：(1)因为在菱形ABCD中，BE=12B