山东省烟台市莱州市第一中学2024-2025学年高三下学期第一次质量检测数学试题（原卷版+解析版）.docx

莱州一中2022级高三质量检测数学试题

2025.2.14

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，，则为（）

A. B. C. D.

2.若复数，其中i为虚数单位，则=

A.1+i B.1?i C.?1+i D.?1?i

3.已知命题，命题，则命题是命题的（）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

4.函数在处的切线与直线垂直，则（）

A. B. C. D.

5.已知平面向量，，若在方向上的投影向量为，则（）

A.2 B. C.0 D.1

6.的展开式中系数为（）

A.180 B.90

C.20 D.10

7.椭圆的左、右焦点分别是，，是椭圆上的点，过作圆的一条切线，切点为，则的最大值为（）

A. B. C. D.

8.已知对恒成立，则的最小值为（）

A.4 B.6 C. D.

二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.

9.今年是祖国的七十五华诞，为了激发学生的爱国热情，加强爱国主义教育.我校积极举行了一场“喜迎国庆强国有我”知识竞答比赛，全校共名学参赛，比赛结束后，将这名学生的比赛成绩（单位：分）进行整理，按，，，，分成组，并绘制成如图所示的频率分布直方图，则下列结论正确的有（）

A.

B.估计样本的第分位数为分

C.若每组数据均以中间值作代表，则估计样本的平均数为分

D.按分层随机抽样与内的学生中抽人，则内被抽取到的学生人数为

10.如图，的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且.若点在外，，，则下列说法中正确的有（）

A. B.

C.四边形面积最大值为 D.四边形面积无最大值

11.已知正方体的棱长为，为棱的中点，则（）

A.直线与所成角为

B.平面

C.过点且与垂直的平面截正方体所得截面的面积为

D.以为球心，为半径的球面与侧面的交线的长度为

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.函数在区间上的最大值为______

13.若一个三位数中十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都大，则称这个数为“凸数”，如360，253等都是“凸数”．用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的三位数，则在组成的三位数中“凸数”的个数为________．（用数字作答）

14.已知双曲线的左，右焦点分别为，，是上位于第一象限的一点，，直线与圆交于，两点，若，则的离心率为______.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.如图，在四棱柱中，底面ABCD是矩形平面平面ABCD，点E，F分别为棱的中点.

（1）证明：B，EF四点共面；

（2）求平面与平面夹角的余弦值.

16.为激发学生注重学科核心素养的培养，某校数学教研组开展数学基本技能比赛，比赛采用自主报名参赛方式，全校共有200名学生自主报名参赛，统计参赛成绩，参赛学生所得分数的分组区间为，，，得到如下的频数统计表：

分数区间

性别

男生/名

15

45

60

女生/名

25

25

30

（1）若学生得分不低于90分，则认为基本技能优秀，得分低于90分，则认为基本技能良好，依据小概率值的独立性检验，分析该校学生的基本技能与性别是否有关？

（2）为进一步调研男生和女生在基本技能上的差异，在参加数学基本技能比赛的200名学生中，按性别比例分层抽样的方式随机抽取5名学生进行问卷调研，然后再从这5名学生中随机抽取3名学生进行座谈调研，记取出的3人中女生的人数为X，求X的分布列和数学期望.

附：

α

010

0.05

0010

2.706

3.841

6.635

，.

17.已知数列的首项为，且满足

（1）求证为等差数列，并求出数列的通项公式；

（2）设数列的前项和为，求．

（3）若数列的通项公式为，且对任意的恒成立，求实数的最小值．

18.在直角坐标系中，已知动圆过定点，且截轴所得的弦长为2.

（1）求动圆圆心的轨迹方程；

（2），为曲线上两个动点，过，中点且与轴平行的直线交曲线于点，曲线在点处的切线交轴于点.

（i）证明：；

（ii）若点在直线上，求面积的最大值.

19.已知函数.（注：…是自然对数的底数）

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）若只有一个极值点，求实数m的取值范围；

（3）若存在，对与任意的，使得恒成立，求的最小值.