梳理抛物线焦点弦的有关结论.docx

PAGE PAGE 1 梳理抛物线焦点弦的有关结论 F知识点1：若是过抛物线的焦点的弦。设，则（1）；（2） F 证明：如图， （1）若的斜率不存在时， 依题意 若的斜率存在时，设为则，与联立，得 综上： （2）， 但 （2）另证：设与联立，得 F知识点2：若是过抛物线的焦点的弦。设，则（1）（2）设直线的倾斜角为，则。 F 证明：（1）由抛物线的定义知 （2）若由（1）知 若联立，得 ，而， F知识点3：若是过抛物线的焦点的弦，则以为直径的圆与抛物线的准线相切。 F 证明：过点分别向抛物线的准线引垂线，垂足分别为 过中点向准线引垂线，垂足为 设以为直径的圆的半径为 以为直径的圆与抛物线的准线相切。 F知识点4：若是过抛物线的焦点的弦。过点分别向抛物线的准线引垂线，垂足分别为则。 F 证明借助于平行线和等腰三角形容易证明 F知识点5：若是过抛物线的焦点的弦，抛物线的准线与轴相交于点，则 F 证明：过点分别作准线的垂线，垂足分别为 ，而 ∽ F知识点6：若是过抛物线的焦点的弦，为抛物线的顶点，连接并延长交该抛物线的准线于点则 F 证明：设，则 由知识点1知 逆定理：若是过抛物线的焦点的弦，过点作交抛物线准线于点则三点共线。 证明略 F知识点7：若是过抛物线的焦点的弦，设则 F 证法：（1）若轴，则为通径，而 （2）若与轴不垂直，设，的斜率为，则与联立，得 由抛物线的定义知 知识点8：已知抛物线中，为其过焦点的弦，则 F F 证明：设则 而 逆定理：已知抛物线中，为其弦且与轴相交于点，若且则弦过焦点。 证明：设，，则 = 而 而 ① 又可设 ② 由①②得 恒过焦点 例1、过抛物线的焦点做直线交抛物线于两点，如果，那么 8 变式：过抛物线的焦点做直线交抛物线于两点，如果，为坐标原点，则的重心的横坐标是 2 例2、直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，由分别向准线引垂线，垂足分别为，如果，为的中点，则 （用表示） 变式：直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，由分别向准线引垂线，垂足分别为，如果，为的中点， 则 （用表示） 例3、设坐标原点为，过焦点的直线交抛物线于两点， -3 例4、过抛物线的焦点作一直线 交抛物线于两点，若线段与的长分别 是，则 小结： （1）抛物线中的焦点弦问题很多都可以转化为这个直角梯形中的问题，在解决这类问题时注意对这个梯形的运用； （2）万变不离其宗，解决问题的关键仍然是抛物线定义.