2025届上海市徐汇区高三4月二模考试数学试卷.docx
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2025届上海市徐汇区高三4月二模考试数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．已知全集，，则.
2．复数（其中为虚数单位）的虚部是．
3．在空间直角坐标系中，向量若，则.
4．已知幂函数的图像过点，则该幂函数的值域是．
5．如下是一个列联表，则.
y1
y2
总计
x1
a
35
45
x2
7
b
n
总计
m
73
s
6．已知，则的值为.
7．已知平面，是直角三角形，且，，则点P到直线BC的距离是.
8．已知是正方形，点是的中点，点在对角线上，且则的大小为.
9．已知两个随机事件，若，，，则.
10．已知双曲线的左焦点为，右焦点为.若双曲线的右支上存在一点，使得直线与以双曲线的实轴为直径的圆相切，切点为线段的中点，则该双曲线的离心率为.
11．如图，某处有一块圆心角为的扇形绿地，扇形的半径为20米，是一条原有的人行直路，由于工程建设需要，现要在绿地中建一条直路，以便在图中阴影部分区域分类堆放物料.为了尽量减少对绿地的破坏（不计路宽），则原直路与新直路的交叉点到的距离为米.
12．设实数，若满足对任意，都存在，使得成立，则的最小值是.
二、单选题
13．已知为两个随机事件，则“为互斥事件”是“为对立事件”的（????）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．非充分非必要条件
14．在研究线性回归模型时，若样本数据所对应的点都在直线上，则两组数据和的线性相关系数为（????）
A． B．1 C． D．2
15．在桌面上有一个质地均匀的正四面体D—ABC．从该正四面体与桌面贴合的面上的三条棱中等可能地选取一条棱，沿其翻转正四面体至正四面体的另一个面与桌面贴合，如此翻转称为一次操作．如图，开始时，正四面体与桌面贴合的面为，操作次后，正四面体与桌面贴合的面是的概率记为.现有下列两个结论：①；②.则下列说法正确的是（????）
??
A．①正确，②错误 B．①错误，②正确
C．①、②都正确 D．①、②都错误
16．已知函数的定义域和值域都为，且图像是一条连续不断的曲线，其导函数的值如下表：
＋
0
－
0
＋
设，若集合，其中为常数，则符合要求的集合的个数不可能是（????）
A． B． C． D．
三、解答题
17．如图，是一块正四棱台形铁料，上、下底面的边长分别为cm和cm，高cm．
(1)求正四棱台的侧面与底面所成二面角的大小；
(2)现削去部分铁料（不计损耗），将原正四棱台打磨为一个圆台，使得该圆台的上、下底面分别为原正四棱台上、下底面正方形的内切圆及其内部．求削去部分与原正四棱台的体积之比．
18．已知函数，其中.
(1)解关于的不等式；
(2)若存在唯一的实数，使得依次成等差数列，求实数的取值范围.
19．某公司生产的糖果每包标识“净含量500g”，但公司承认实际的净含量存在误差.已知每包糖果的实际净含量（单位：g）服从正态分布.
(1)随机抽取一包该公司生产的糖果，求其净含量误差超过5g的概率（精确到）；
(2)随机抽取3包该公司生产的糖果，记其中净含量小于497.5g的包数为.求的分布和期望（精确到）.
参考数据：，，，其中为标准正态分布函数.
20．已知抛物线，点是抛物线的焦点．
(1)求点的坐标及点到准线的距离；
(2)过点作相互垂直的两条直线，交抛物线于点、，交抛物线于点、，求证：为定值，并求出该定值；
(3)过点且斜率为的直线交抛物线于两点，设点不在直线上且为的内角平分线，求面积的最大值.
21．对于函数，记.如果是满足的最小正整数，则称是函数的“最小导周期”.
(1)已知函数，其中，求证：对任意实数，都有；
(2)设，，若函数的最小导周期为，记，当实数变化时，求的最小值；
(3)设，，若函数满足对恒成立，且存在使得，试用表示，并证明.
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《2025届上海市徐汇区高三4月二模考试数学试卷》参考答案
题号
13
14
15
16
答案
B
A
C
B
1．
【分析】先求解绝对值不等式解得集合，再根据补运算求解即可.
【详解】，又，