2025年九年级数学中考二轮复习圆综合压轴题解答题专题提升训练.docx
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2025年九年级数学中考二轮复习
圆综合压轴题解答题专题提升训练
1．如图，内接于，是的直径，平分，，延长交的延长线于点A，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的值．
2．如图，内接于，直线与相切于点，连接并延长交直线于点，交于点，过点作于点．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
3．如图，点在的边上，以为直径的经过点，且交于点，交于点，连接．
(1)求证：为的切线；
(2)求证：；
(3)若，求的值．
4．如图，点，，分别在的边，，上，是的外接圆，为的直径，，且．
(1)求证：是的切线；
(2)求证：；
(3)当，时，求的长．
5．已知：内接于，，连接并延长交于点D，交于点E，于点F，交于点G．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，延长交于点H，连接，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，点R为弧上一点，连接、，交于点P，若，，，求的长．
6．如图，是的直径，弦，垂足为H，连接，过上一点E作交的延长线于点G，连接交于点F，且，连接．
(1)求证：；
(2)求证：是的切线；
(3)延长交的延长线于点M，若，，求的半径．
7．如图，是的直径，是上一点过点作于点，交于点，点是延长线上一点，连接，，．
??
(1)求证：是切线；
(2)若，，求的长．
8．已知，如图，是的直径，弦于点E，G是上一点，与的延长线交于点F．
(1)求证：．
(2)如，，求的半径长；
(3)若G是的中点，，求的长．
9．如图，为的外接圆，，经过点C作直线，，直径的延长线交直线于点E．
??
(1)求证：为的切线；
(2)若，，求的长．
10．如图，是的直径，点C、D在上，且平分，过点D作的垂线，与的延长线相交于E，与的延长线相交于点F，G为的下半圆弧的中点，交于H，连接
??
(1)证明：是的切线；
(2)若圆的半径，求的长；
(3)求证：．
11．如图，以的边为直径作半圆O交于点D，且，半圆O交于点E．
(1)求证：．
(2)若，，求半圆O的半径r．
12．小贺同学在数学探究课上，用几何画板进行了如下操作：首先画一个正方形，一条线段，再以点A为圆心，的长为半径，画分别交于点E．交于点G．过点E，G分别作，的垂线交于点F，易得四边形也是正方形，连接．
??
(1)【探究发现】如图1，
与的大小和位置关系：_________．
(2)【尝试证明】如图2，将正方形绕圆心A转动，在旋转过程中，上述（1）的关系还存在吗？请说明理由．
(3)【思维拓展】如图3，若，则
①在旋转过程中，点B，A，G三点共线时，的值为__________；
②在旋转过程中，的最大值是
13．如图，在等腰中，，以为直径的分别与边，交于，两点，交于点．连接交于点G．
(1)求证：；
(2)若，，求的半径．
14．已知：为的直径，点为弦上一点，连接并延长交于点，连接，交于点，且．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，连接，点为中点，射线交于点，为上一点，连接，，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，在上取一点，连接，，使，，连接，若，，，求线段的长．
15．已知：四边形内接于，点E在弧上，连接，，．
(1)如图1，求证：；
(2)若经过圆心O，如图2，求证：；
(3)在（2）的条件下，点G在弧上，连接、，的延长线与交于点H，，连接、，当，，时，如图3，求长．
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参考答案
1．(1)理由见详解
(2)
【分析】本题考查切线的性质以及直角三角形的边角关系，圆周角定理以及三角函数，熟练掌握切线的性质和直角三角形的边角关系与圆周角定理是正确解答的关键．
（1）直接根据角平分线的定义，等腰三角形的性质和平行线的性质以及切线的判定方法进行解答即可；
（2）由题意设的半径为r，则，，由证出．由得，求出，即，由勾股定理得出的值．
【详解】（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∵是半径，
∴是的切线；
（2）解：设的半径为r，则，．
由（1）知，
∴．
∵，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴．
2．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接并延长，交于点，连接，如图所示，由切线性质得到，再由直径所对的圆周角是直角得到，最后根据同弧所对的圆周角相等即可得证；
（2）连接，如图所示，由（1）中，结合同弧所对的圆周角相等得到，进而判定，利用相似比求出、及，设，，由勾股定理求得，再由中垂线的判定得到，利用等面积法求出，在中，由勾股定理得出，最后再由相似三角形的判定